重学微积分

• Chapter Two：Basic Calculus Formulas
• 2-1 Introduction
• 2-2 The Chain Rule - 链式法则
• 2-3 Integration by Substitution - 替换法计算积分

Chapter Two：Basic Calculus Formulas

2-1 Introduction

Elementary functions are those formed from three base functions by application (possibly repeated) of six operations on functions.
The three base functions are the identity function, the sine function and the logarithm function.
The six operations are addition, subtraction, multiplication, division, composition and inversion.
初等函数由三种基本函数和六种运算法则组成。
三种基本函数：恒等函数，三角函数和对角函数
六种运算法则：加，减，乘，除，复合和反转。

2-2 The Chain Rule - 链式法则

用于求复合函数的微分。
假设：$y= f(x), quad x=g(t)，$那么，$y=f(g(t))，$此时若要计算$y$对$t$的导数，或者说微分，则要计算：$frac{dy}{dt}=frac{d[f(g(t))]}{dt}$但显然$f(x)$中不包含变量$t$，因此，我们要求的是：$frac{dy}{dx}cdotfrac{dx}{dt}=f'(x)cdot g'(t)$
同理，若要对下面的式中的$z$对$t$求导$z=f(y),quad y=g(x),quad x=phi(t)$则，$frac{dz}{dy}cdot frac{dy}{dx}cdot frac{dx}{dt}cdot =f'(y)g'(x)phi'(t)$.

2-3 Integration by Substitution - 替换法计算积分

设有两个函数：$f(g)，quad g(x)$显然存在：$(F[g(x)])'=frac{dF}{dx}=frac{dF}{dg}cdot frac{dg}{dx}=F'(g)cdot g'(x)$因此，$int (F[g(x)])'=F[g(x)]$
可能会感觉这不是和上面那个一样么，emm，上面那个是求微分，这个求的是积分。

下面举个例子看看怎么用，举例：$计算积分:int_0^12xsqrt{1+x^2}dx$
解：
$egin{aligned} \ int_0^12xsqrt{1+x^2}dx &= int_0^1sqrt{1+x^2}(2xdx) \ &= int_{x=0}^{x=1}sqrt{1+x^2}d(1+x^2)\ &=frac{2}{3}(1+x^2)^{frac{3}{2}}|_0^1\ &=frac{2}{3}(2sqrt2-1) end{aligned}$
提示：$F(g)=sqrt{1+x^2}，quad g(x)=1+x^2$