概率问题分析

　　1.考虑一个日常的问题，考英语时有很多道选择题(orz)，假设每个选择题共4个选项且只有1个正确答案，答对一题得5分，答错扣1分，不答没有分，由于本英语渣根本不会做，于是考虑不答还是随便答哪个更好，求随机选择的期望。

　　分析：

　　　　(1)不答题没有分，记期望为0；

　　　　(2)有以下两种情况，设答对的概率为A：

$$ X_A=left{egin{gathered} frac{1}{4} & A(答对) \ frac{3}{4} & 1-A (答错) end{gathered} ight. $$

　　于是答题的期望为：

$$ E(X_A) = 5 cdot P(A) + (-1) cdot P(1-A) = 0.5 $$

　　所以，这种情况下，随机答题比不答题可能好一些。。。

　　2.生日悖论

　　问题描述：一个屋子里人数必须要达到多少人，使至少有一对生日相同的期望为1？

　　分析：我们使用整数1,2,3,...,k对屋子里的人编号，k为总人数。另假设所有的年份都有n=365天。对于i=1,2,3,...,k，设b_i表示编号为i的人的生日，其中1≤b_i≤n。还假设生日均匀分布在一年的n天中，因此对i=1,2,...,k和r=1,2,...,n，有：

$$ P(b_i=r)=frac{1}{n} $$

　　两个人i和j的生日正好相同的概率依赖于生日的随机选择是否独立。从现在开始，假设生日是独立的，于是i和j的生日都落在同一日r上的概率为：

$$ P(b_i=r cap b_j=r)=P(b_i=r) cdot P(b_j=r)=frac{1}{n^2} $$

　　这样，他们的生日是同一天的概率为（注意与上式描述的区别）：

$$ P(b_i=b_j)=sum_{r=1}^n P(b_i=r cap b_j=r)=sum_{r=1}^n frac{1}{n^2}=frac{1}{n} quad (1)$$

　　采用指示器随机变量来进一步探讨：

　　对屋子里k个人中的每一对(i,j)，对1≤i<j≤k，定义指示器随机变量X_ij如下：

$$ X_{ij}=left{egin{gathered} 1 & b_i=b_j \ 0 & b_i eq b_j end{gathered} ight. $$

　　结合(1)式，有

$$ E(X_{ij})=P(b_i=b_j)=frac{1}{n} $$

　　设X表示计数生日相同两人对数目的随机变量，我们有：

$$ X = sum_{i=1}^ksum_{j=i+1}^kX_{ij} $$

　　两边取期望，并应用期望的线性性质，得到：

$$ E(X)=E(sum_{i=1}^ksum_{j=i+1}^kX_{ij})=sum_{i=1}^ksum_{j=i+1}^kE(X_{ij})=inom{k}{2} frac{1}{n}=frac{k(k-1)}{2n} $$

　　当k(k-1)≥2n时，生日相同的两人对的期望数至少是1。且当n=365，取k=28，则生日相同人对数目的期望值为1.0356，即至少需要28人，我们可以期望找到至少一对生日相同的人。如果在火星上，n=669，则至少需要38个火星人～是不是非常不可思议？原来和别人生日相同的概率这么高？