zoukankan      html  css  js  c++  java
  • 最速降线问题公式推导

      以前对物理特别感兴趣的时候看过一段时间的变分法,记得当时阅读了一本十分不错的书籍,其作者名挺有趣的—老大中先生的《变分法基础》(真的很不错的一本讲变分法的书,有兴趣的同学可以去看看,虽然没继续看下去了> <),但许久没接触物理了,公式的推导过程也给忘记了,最近想复习一点数学、物理了,所以今天来推导一下并写篇博客做个记录。其实当时我的数学基础不足以支持我看完这本书...许多泛函的概念看的蒙蔽。。。但实际上直接去看最速降线问题的前面部分推导是没有太大影响的,基础只需要一点微积分+高中物理就能看明白原理...说起来当时仅仅是兴趣驱使我去深入了解什么是变分法...当时知道结论时非常激动。。。但如何解最后得到的公式才是真正的变分法基础。

      首先来考虑一个问题:一个质点在重力作用下,从一个给定点到不在它垂直下方的另一点,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短?

      问题稍微更物理一点的描述:设A、B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点,在所有连接A和B的平面曲线中,求出一条曲线,使仅受重力作用且初速度为零的质点从A点到B点沿该曲线运动时所需时间最短。

      如图所示(图来自百科):

      

      下面是书上的证明:

      如下图中所示,取A为平面直角坐标系的原点,x轴置于水平位置,y轴正向朝下。显然,最速降线应该在这个平面内。于是A点的坐标就是(0,0)。设B点的坐标为(x1,y1)。取连接A和B的曲线方程为: 

    $$ y = y(x) quad (0 leqslant x leqslant x_1) quad quad (1) $$

      它在区间[0,x1]的两个端点满足条件:

    $$ y(0) = 0,y(x_1)=y_1 quad quad (2) $$

      设M(x,y)为曲线y=y(x)上的任意一点,由机械能守恒定律可得到如下关系: 

    $$ mgh + frac{1}{2}mv_0^2=mg(h-y) + frac{1}{2}mv^2 quad quad (3) $$

      式中,v0=0,g是重力加速度,故有:

    $$ v = sqrt{2gy} quad quad (4) $$

      设y=y(x)为曲线的运动方程,质点沿着该曲线从A点运动到B点。质点的运动速度可表示为:

    $$ v = frac{ds}{dt} = sqrt{1+y'^2} frac{dx}{dt} quad quad (5) $$

      由式(4)、(5)消去v并积分,得质点沿曲线从A点滑行到B点所需的时间为:

    $$ T=int_0^{x_1} sqrt{frac{1+y'^2}{2gy}}dx $$

      该方程的最终解析式表示该问题的答案中的曲线是摆线(也叫滚轮线或旋轮线),非常让人一种着迷的曲线。但如何解这个方程我并不会...其涉及到求泛函问题的,使用的方法就是变分法,由于我太菜,基础知识储备不够,暂时还会解。。。

      最后,说一点该问题的小故事:最早提出该问题的是伽利略。一开始伽利略猜测答案是圆,但没能证明,从现在来看是当然的,那时候微积分还没得到发展嘛...后来1696年约翰伯努利在一封写给他哥哥雅克比伯努利(向伯努利家族低头orz)公开信中再次提出该问题,引起当时的数学家们的热议和研究,我个人听说实际上是专门向牛顿提出的挑战,考验牛顿的微积分水平。。。结果当时牛顿收到消息时已经过了大半年,但牛顿立刻就回家开始研究,花了一下午解决了问题,虽然消息来得晚,但牛顿却是提出问题后第一个解决该问题的orz。。。后来陆陆续续有一些著名的数学家都证明出来了,其中有莱布尼茨、洛必达等。这个问题标志着变分法基础的开始,后来该问题得到了欧拉、拉格朗日等著名的数学家的工作,发展出了变分法这门学科。

      其他参考文献:

        1.https://en.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone_curve

        2.https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_of_variations

        3.https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%98%E5%88%86%E6%B3%95/83603?fr=aladdin

        4.https://baike.baidu.com/item/%E6%91%86%E7%BA%BF/5893005?fr=aladdin

        5.https://baike.baidu.com/item/%E6%B5%8B%E5%9C%B0%E7%BA%BF/2391217?fr=aladdin

  • 相关阅读:
    DPDK安装方法 17.12.13
    numa.h:No such file or directory 解决方法
    17秋 软件工程 第六次作业 Beta冲刺 Scrum3
    17秋 软件工程 第六次作业 Beta冲刺 总结博客
    17秋 软件工程 第六次作业 Beta冲刺 Scrum2
    Paper Reviews and Presentations
    17秋 软件工程 第六次作业 Beta冲刺 Scrum1
    17秋 软件工程 第六次作业 Beta冲刺
    error: could not create '/System/Library/Frameworks/Python.framework/Versions/2.7/share': Operation not permitted
    17秋 软件工程 个人作业 软件产品案例分析
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/darkchii/p/9183227.html
Copyright © 2011-2022 走看看