2021“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛（7）

2021“MINIEYE杯”中国大学生算法设计超级联赛（7）

1003. Fall with Trees

• 题意

一棵完全二叉树，且子节点和父节点高度一定，同一深度的子节点y坐标相同，且每两个子节点的距离相同, 求整棵树连起来的总面积。

• 思路

建议推公式求，暴力调精度会出大问题(呜呜呜)。
首先(S_i =h * frac{w_k + w_{k + 1} }{2})
然后每个(w_1 = fabs(x_2 - x_1), h = y_1 - y_0),(w_i = 2 * w_1 - 2^{1-i})
然后推出公式展开求一个等比前(n)项就可以了。
(ANS = sum_{i=1}^{k-1} S_i = w_1 * h / 2.0 * (4 * (k - 1) - 3 * (2 - 2^{k-2}))

code :

void solve(){
    db x0,x1,x2,y0,y1,y2;
    int k;
    sc("%d", &k);
    scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &x0, &y0, &x1, &y1, &x2, &y2);
    db h = fabs(y1 - y0);
    db w = fabs(x2 - x1);
    db ans = w * h / 2.0 * (4.0 * (k - 1) - 3.0 * (2.0 - pow(2,2 - k)));
    pr("%.3lf
", ans);
}

1004. Link with Balls

• 题意

给你一个(n),(m)，有(2n)个筐，你可以从(2x - 1)的筐中拿(k*x)个球(k为非负整数)，也可以从(2x)的框中最多拿(x)个球， 问如果要(m)个球，有多少种拿法。

• 思路

1	2	3	4	5	6
(+infty)	0 ~ 1	2k	0 ~ 2	3k	0 ~ 3
我们可以发现，第一个为正无穷，然后其实将(2 and 3)组合，也可以得到正无穷。
最后我们就得到(n)个无穷筐和一个从(0 o n)的筐。
然后就枚举最后那个筐选中的个数，然后在剩下的在前面的无穷筐中选即可
然后就是隔板法取即可，在((m - i))个数中，用(n - 1)个隔板划分成(n)个区域
计算(sum_{i = 0}^nC_{m - i + n - 1}^{n-1})
由公式(sum_{i=0}^nC_{k+i}^k = C_{n + k + 1}^{k + 1})
即(ans = C_{n + m}^n - C_{m - 1}^n)

code :

ll fact[N], infact[N];

void init() {
	fact[0] = infact[0] = 1;
    for (int i = 1 ; i < N; ++i) {
        fact[i] = fact[i - 1] * i % MOD;
        infact[i] = infact[i - 1] * pow_mod(i, MOD - 2) % MOD;
    }
}

ll C(ll a,ll b) {
	if(a<0||b<0||a<b) return 0;
	return fact[a] * infact[a - b] % MOD * infact[b] % MOD;
}
ll qmi(int a, int k, int p) {
    LL res = 1;
    while (k) {
        if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
        k >>= 1;
        a = (LL)a * a % p;
    }
    return res;
}

void solve(){
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    ll ans = C(n + m,n) - C(m - 1,n) + 3 * mod;
    cout << ans % mod << endl;
}

1006. Link with Grenade

• 题意

一个人，往任意方向扔一颗速度为(v)，爆炸范围为(r)的手榴弹，并且将在(t)秒后爆炸，问不炸死自己的概率。

• 思路

画图形，推一遍物理公式即可

code : (略)(过于难看)

1007. Link with Limit

• 题意

定义一个函数(f(x)), 且(x)和(f(x))都属于([1,n]) , 且(f_n(x) = f(f_{n-1}(x)) and f_1(x) = f(x))
定义(x)的权力为
​ (g(x) = lim_{n o +infty} frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}f_i(x))
问是否所有(x)的权利都相同 ((1 <= x <= n))

• 思路

题意其实看懂就知道当(n o +infty)时，非环点的权值可以忽略因为一定要(* frac{1}{+infty})， 然后其实就是权值就是一堆环内一直跳的点，那么拓扑排序清边，然后一直找环即可，判断是否每个环的点权平均值都相同即可。

code:

int a[N], ru[N];
int q[N];
void solve(){
    int n;
    cin >> n;
    memset(ru, 0, sizeof ru);
    fep(i,1,n) {
        cin >> a[i];
        ru[a[i]] ++;
    } 
    int hh = 0,tt = -1;
    fep(i,1,n) {
        if(ru[i] == 0) q[++ tt] = i; 
    }
    while(hh <= tt) {
        int t = q[hh ++];
        ru[a[t]] --;
        if(ru[a[t]] == 0) {
            q[++ tt] = a[t];
        }
    }
    ll va = -1, vb = -1;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        ll sa = 0,sb = 0;
        if(ru[i]) {
            int j = i;
            while(ru[j]) {
                ru[j] = 0; // 每个点只会出现在一个环上
                sa ++;
                sb += j;
                j = a[j];
            }
            if(va == -1) {
                va = sa, vb = sb;
            }else {
                if(va * sb != vb * sa) {
                    cout << "NO" << endl;
                    return;
                }
            }
        }
    }
    cout << "YES" << endl;
}

1008. Smzzl with Greedy Snake

• 题意

贪吃蛇，可以直走 = (f)，顺时针旋转(90^{circ}) = (c), 逆时针(90^{circ}) = (u), 每次吃完一个才会出现下一个，问你如何用最少的行动吃完。

• 思路

模拟0.0

code:

void solve(){
    int x,y,d;
    cin >> x >> y >> d; // 0 - y+, 1- x+, 2- y-,3 x-
    int m;
    cin >> m;
    string str = "";
    fep(i,1,m) {
        int a,b;
        cin >> a >> b;
        int flag = -1; // 0 - 左上, 1- 左下，2- 右上, 3- 右下
        // 先判断直走
        if(a > x) flag += 2;
        if(b < y) flag += 2;
        else flag ++;
        
        if(flag == 0) {
            if(d == 1) d = 0, str += "u";
            if(d == 2) d = 3, str += "c";
            if(d == 0) {
                while(y < b) str += "f", y ++;
                str += "u";
                while(x > a) str += "f", x --;
                d = 3;
            }
            else if(d == 3) {
                while(x > a) str += "f", x --;
                str += "c";
                while(y < b) str += "f", y ++;
                d = 0;
            }
        }else
        if(flag == 1) {
            if(d == 0) d = 3, str += "u";
            if(d == 1) d = 2, str += "c";
            if(d == 2) {
                while(y > b) str += "f", y --;
                str += "c";
                while(x > a) str += "f", x --;
                d = 3;
            }
            else if(d == 3) {
                while(x > a) str += "f", x --;
                str += "u";
                while(y > b) str += "f", y --;
                d = 2;
            }
        }else
        if(flag == 2) {
            if(d == 2) d = 1, str += "u";
            if(d == 3) d = 0, str += "c";
            if(d == 0) {
                while(y < b) str += "f", y ++;
                str += "c";
                while(x < a) str += "f", x ++;
                d = 1;
            }
            else if(d == 1) {
                while(x < a) str += "f", x ++;
                str += "u";
                while(y < b) str += "f", y ++;
                d = 0;
            }
        }else {
            if(d == 3) d = 2, str += "u";
            if(d == 0) d = 1, str += "c";
            if(d == 1) {
                while(x < a) str += "f", x ++;
                str += "c";
                while(y > b) str += "f", y --;
                d = 2;
            }
            else if(d == 2) {
                while(y > b) str += "f", y --;
                str += "u";
                while(x < a) str += "f", x ++;
                d = 1;
            }
        }
    }
    cout << str << endl;
}

1010. Smzzl with Tropical Taste

• 题意

一个泳池，一个人每秒忘泳池里倒(q)升的冰红茶，一个人每秒从泳池里喝(p)升的冰红茶(手动滑稽)，问对任意(G)升冰红茶，都存在一个时间(T)，在男孩和了(t)秒后的，喝了大于(G)升的冰红茶。

• 思路

只有当倒的冰红茶小于喝的时候才会有限制，其他时候都是无限制的。

code :

const double eps = 1e-6;
void solve(){
    db n,m;
    cin >> n >> m;
    if(n - m > eps) {
        cout << "ENJ0Y YOURS3LF!" << endl;
    }else {
        cout << "N0 M0R3 BL4CK 1CE TEA!" << endl;
    }
}

1012. Yiwen with Sqc

• 题意

给一个字符串，(sqc(s,l,r,c))表示字符串(s)中从(l o r)中(c)字符出现的次数，然后求一个：

(sum_{c=97}^{122}sum_{i=1}^{n}sum_{j=i}^{n} sqc(s,i,j,c)^2 mod 998244353)

• 思路

我的解法是推公式写的。。
就比如: ababa
1: a a贡献 a : 1
2: b ab贡献a: 1,b : 1 + 1
3: a aba贡献a: 4 + 1 + 1, b : 1 + 1
4: b abab贡献a:4 + 1 + 1, b : 4 + 4 + 1 + 1
5: a ababa贡献a: 9 + 4 + 4 + 1 + 1, b : 4 + 4 + 1 + 1.
然后发现其他字符变动对自己的贡献是没有影响的。
之后就靠脑子想了，
(a)中的贡献为(a_1 + a_3 + a_5),
当(a_1)进来时为1,
(a_3)进来后即为((a_1=1 + 1)^2 + 1 + k_i)，(k_i)表示有多少次没有出现当前字母了，表示(k_i)个(+1)，
然后(a_5)进来，就是((a_1=1 + 1 + 1)^2) + (a_2=1 + 1)^2 + (a_2=1 + 1)^2 + 1 + k_i = 9 + 4 + 4 + 1 + 1), 然后计算公式(O(26n))即可求解，没有卡常。。

code:

char str[N];
int f[N][27];
int s[N][27];
int cnt[27], k[27]; // cnt表示当前某个字符贡献了多少次如+4+1+1，贡献为6，cnt为3， k表示已经多久没出现当前字符

void solve(){
    sc("%s", str + 1);
    int n = strlen(str + 1);
    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        fep(j,1,26) f[i][j] = f[i - 1][j], s[i][j] = s[i - 1][j], k[j] ++;
        if(!cnt[str[i] - 'a' + 1]){
            int now = str[i] - 'a' + 1;
            f[i][now] = i;
            s[i][now] += cnt[now] + k[now];
            cnt[now] += k[now];
            k[now] = 0;
        }
        else {
            int now = str[i] - 'a' + 1;
            f[i][now] += cnt[now] + k[now] + 2 * s[i][now] % mod;
            f[i][now] %= mod;
            cnt[now] += k[now];
            s[i][now] += cnt[now];
            k[now] = 0;
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i ++) {
        fep(j,1,26){
            ans += f[i][j];
            ans %= mod;
        }
    }
    fep(i,1,26) k[i] = cnt[i] = 0;
    pr("%lld
", ans);
}