（原）欧氏距离与余弦距离

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网上参考资料一大堆，自己也总结一下吧。

两向量$mathbf{A}=[{{a}_{1}},cdots ,{{a}_{n}}]$，$mathbf{B}=[{{b}_{1}},cdots ,{{b}_{n}}]$，这两个向量之间的欧式距离为：

$Euc\_dist={{left| mathbf{A}-mathbf{B} ight|}_{2}}=sqrt{sumlimits_{i=1}^{n}{{{({{a}_{i}}-{{b}_{i}})}^{2}}}}=sqrt{sumlimits_{i=1}^{n}{(a_{i}^{2}-2centerdot {{a}_{i}}centerdot {{b}_{i}}+b_{i}^{2})}}=sqrt{sumlimits_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}+sumlimits_{i=1}^{n}{b_{i}^{2}}-2centerdot sumlimits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}centerdot {{b}_{i}}}}$

这两个向量之间的余弦相似度Cos_sim为：

$Cos\_sim ext{=}frac{mathbf{A}centerdot {{mathbf{B}}^{T}}}{{{left| mathbf{A} ight|}_{2}}centerdot {{left| mathbf{B} ight|}_{2}}}=frac{sumlimits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}centerdot {{b}_{i}}}}{sqrt{sumlimits_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}}centerdot sqrt{sumlimits_{i=1}^{n}{b_{i}^{2}}}}$

余弦距离为：

$Cos\_dis ext{=}1-Cos\_sim ext{=}1 ext{-}frac{sumlimits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}centerdot {{b}_{i}}}}{sqrt{sumlimits_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}}centerdot sqrt{sumlimits_{i=1}^{n}{b_{i}^{2}}}}$

若这两个向量均已归一化，即${{left| mathbf{A} ight|}_{2}}=sqrt{sumlimits_{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}} ext{=}1$，${{left| mathbf{B} ight|}_{2}}=sqrt{sumlimits_{i=1}^{n}{b_{i}^{2}}} ext{=}1$，则：

$Euc\_dist ext{=}sqrt{1+1-2centerdot sumlimits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}centerdot {{b}_{i}}}} ext{=}sqrt{2centerdot 1-sumlimits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}centerdot {{b}_{i}}}}$

$Cos\_dis ext{=}1 ext{-}sumlimits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}centerdot {{b}_{i}}}$

进而：

$Euc\_dis{{t}^{2}} ext{=}2centerdot Cos\_dis ext{=}2centerdot (1-Cos\_sim)$

$Cos\_sim=1-frac{1}{2}Euc\_dis{{t}^{2}}$

另外：

欧式距离越小（越接近0），两向量越相似。

余弦距离越小（越接近0），两向量越相似。

余弦相似度越大（越接近1），两向量越相似。