高斯消元

板子题传送门

一、作用

求解线性方程组

（就是n元一次方程）

时间复杂度

　　　　O（n³）

二、算法

其实高斯消元的过程就是手算解方程组的过程，回忆一下初中的时候怎么求解方程组：加减消元，消去未知数，如果有多个未知数，就一直消去，直到得到类似kx=b（k和b为常数，x为未知数）的式子，就可以求解出未知数x，然后我们回代，依次求解出各个未知数的值，就解完了方程组。

换句话说，分两步：

1. 加减消元

2. 回代求未知数值

假设有一个线性方程组是长这样的：

3x + 2y + z = 10　　(1)

5x + y + 6z = 25　　(2)

2x + 3y + 4z = 20　  (3)

我们初中学过代入消元和加减消元，但是算法要有规律可循，所以我们选择加减消元，但用代入消元回代

于是

把x的系数绝对值最大的式子放到最上面

也就是把（2）式放到最上面

也就是

5x + y + 6z = 25　　(2)

3x + 2y + z = 10　　(1)

2x + 3y + 4z = 20　  (3)

在把（1）式的x的系数化为一

（即等号两边同时除以5）

x + 1/5 * y + 6/5 * z = 5　　　(2)

3x + 2y + z = 10　　　　　　(1)

2x + 3y + 4z = 20　 　　　　 (3)

接下来

用（2）把（1）（3）的x的系数都消去

于是得

x + 1/5*y + 6/5*z = 5　　(2)

0 - 7/5*y +13/5*z = 5　　(1)

0 - 13/5*y - 8/5*z = -10　(3)

于是重复前面几步

（把1式y的系数化成1，再把2式y的系数化为0）

于是可以得到

x + 1/5*y + 6/5*z = 5　　(2)

0 - y + 13/7*z = 25/7　　(1)

0 - 0 -225/65*z = -135/13　(3)

这显然就可以求出z的值了

然后再把z的值带回到（1）中

就可以求出y的值

再把y的值带回到（2）中

就可以求出x的值了

于是就都解出来了

注意：

由于最多也只能用double型存储，所以必然会有精度误差。但如果我们每次都选用最大系数的来消掉其他系数，就可以最大程度地来减小误差。

转化成图来辅助理解：

在系数化为1之后，我们需要来用这个式子去消其他的式子。最后，我们会得到一个右上三角不为0的矩阵，只需要将这个矩阵的最右下角（也就是最后一个元的实际值）不断回带即可。
xxxx
oxxx
ooxx
ooox

什么时候无解？

消元完了，发现有一行系数都为0，但是常数项不为0，就是无解

ooooooox

什么时候多解啊？

消元完了，发现有好几行系数为0，常数项也为0，这样就是多解。有几行为全为0，就有几个自由元，所谓自由元，就是这些变量的值可以随意取，有无数种情况可以满足给出的方程组

ooooooooooo

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm> 
#include<iostream>
using namespace std;
const double eps = 1e-7;
int n;
double f[105][105],ans[105];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= n + 1;j++)
            scanf("%lf",&f[i][j]);
    for(int i = 1;i <= n;i++)//从第一行走到走到最后一行 
    {
        int t = i;
        for(int j = i + 1;j <= n;j++)
            if(fabs(f[j][i]) > fabs(f[t][i]))
                t = j;
        if(fabs(f[t][i]) < eps)
        {
            printf("No Solution");
            return 0;
        }
        if(t != i)
            swap(f[t],f[i]);
        double qwq = f[i][i];
        for(int j = i;j <= n + 1;j++)
            f[i][j] /= qwq;
        for(int j = i + 1;j <= n;j++)
        {
            qwq = f[j][i];
            for(int k = i;k <= n + 1;k++)
            {
                f[j][k] -= f[i][k] * qwq;
            }
        }
    }
    ans[n] = f[n][n + 1];
    for(int i = n - 1;i >= 1;i--)
    {
        ans[i] = f[i][n + 1];
        for(int j = i + 1;j <= n;j++)
            ans[i] -= f[i][j] * ans[j];
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        printf("%.2lf
",ans[i]);
    return 0;
}