FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
多少点来做FFT。
现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
不在此罗嗦了。
采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算，通常N取2的整数次方。
假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
采样时间是倒数关系。
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
即小于采样频率一半的结果。
好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
信号来做说明。
假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
图1 FFT结果
从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果如下：
1点： 512
51点：384
76点：192
按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
的幅度是正确的。
然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。
总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
具体的频率细分法可参考相关文献。
[附录：本测试数据使用的matlab程序]
close all; %先关闭所有图片
Adc=2; %直流分量幅度
A1=3; %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50; %信号1频率(Hz)
F2=75; %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90; %信号相位(度)
N=256; %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
figure;
Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
figure;
Pyy=[1:N/2];
for i=1:N/2
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
title('相位-频率曲线图');
#include <math.h>
#include "fftfunc.h"
const int16 stc_fftrealcoef[FFT_XBNUMS][FFT_N] = {
{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
{-14703,565,1108,1609,2048,2408,2676,2841,2896,2841,2676,2408,2048,1609,1108,565,0,-565,-1108,-1609,-2048,-2408,-2676,-2841,-2896,-2841,-2676,-2408,-2048,-1609,-1108,-565,14703},
{-7103,1365,2239,2772,2882,2554,1837,841,-284,-1365,-2239,-2772,-2882,-2554,-1837,-841,284,1365,2239,2772,2882,2554,1837,841,-284,-1365,-2239,-2772,-2882,-2554,-1837,-841,7387},
{-4400,2048,2841,2676,1609,0,-1609,-2676,-2841,-2048,-565,1108,2408,2896,2408,1108,-565,-2048,-2841,-2676,-1609,0,1609,2676,2841,2048,565,-1108,-2408,-2896,-2408,-1108,4965},
{-2925,2554,2772,1365,-841,-2554,-2772,-1365,841,2554,2772,1365,-841,-2554,-2772,-1365,841,2554,2772,1365,-841,-2554,-2772,-1365,841,2554,2772,1365,-841,-2554,-2772,-1365,3766},
{-1949,2841,2048,-565,-2676,-2408,0,2408,2676,565,-2048,-2841,-1108,1609,2896,1609,-1108,-2841,-2048,565,2676,2408,0,-2408,-2676,-565,2048,2841,1108,-1609,-2896,-1609,3057},
{-1229,2882,841,-2239,-2554,284,2772,1837,-1365,-2882,-841,2239,2554,-284,-2772,-1837,1365,2882,841,-2239,-2554,284,2772,1837,-1365,-2882,-841,2239,2554,-284,-2772,-1837,2594},
{-663,2676,-565,-2896,-565,2676,1609,-2048,-2408,1108,2841,0,-2841,-1108,2408,2048,-1609,-2676,565,2896,565,-2676,-1609,2048,2408,-1108,-2841,0,2841,1108,-2408,-2048,2272},
{-201,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,2038},
{184,1609,-2676,-565,2896,-565,-2676,1609,2048,-2408,-1108,2841,0,-2841,1108,2408,-2048,-1609,2676,565,-2896,565,2676,-1609,-2048,2408,1108,-2841,0,2841,-1108,-2408,1864},
{506,841,-2882,1365,1837,-2772,284,2554,-2239,-841,2882,-1365,-1837,2772,-284,-2554,2239,841,-2882,1365,1837,-2772,284,2554,-2239,-841,2882,-1365,-1837,2772,-284,-2554,1733},
{774,0,-2408,2676,-565,-2048,2841,-1108,-1609,2896,-1609,-1108,2841,-2048,-565,2676,-2408,0,2408,-2676,565,2048,-2841,1108,1609,-2896,1609,1108,-2841,2048,565,-2676,1634},
{994,-841,-1365,2772,-2554,841,1365,-2772,2554,-841,-1365,2772,-2554,841,1365,-2772,2554,-841,-1365,2772,-2554,841,1365,-2772,2554,-841,-1365,2772,-2554,841,1365,-2772,1560},
{1170,-1609,0,1609,-2676,2841,-2048,565,1108,-2408,2896,-2408,1108,565,-2048,2841,-2676,1609,0,-1609,2676,-2841,2048,-565,-1108,2408,-2896,2408,-1108,-565,2048,-2841,1506},
{1302,-2239,1365,-284,-841,1837,-2554,2882,-2772,2239,-1365,284,841,-1837,2554,-2882,2772,-2239,1365,-284,-841,1837,-2554,2882,-2772,2239,-1365,284,841,-1837,2554,-2882,1469},
{1393,-2676,2408,-2048,1609,-1108,565,0,-565,1108,-1609,2048,-2408,2676,-2841,2896,-2841,2676,-2408,2048,-1609,1108,-565,0,565,-1108,1609,-2048,2408,-2676,2841,-2896,1448},
};
const int16 stc_fftvircoef[FFT_XBNUMS][FFT_N] = {
{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0},
{1448,2841,2676,2408,2048,1609,1108,565,0,-565,-1108,-1609,-2048,-2408,-2676,-2841,-2896,-2841,-2676,-2408,-2048,-1609,-1108,-565,0,565,1108,1609,2048,2408,2676,2841,1448},
{2155,2554,1837,841,-284,-1365,-2239,-2772,-2882,-2554,-1837,-841,284,1365,2239,2772,2882,2554,1837,841,-284,-1365,-2239,-2772,-2882,-2554,-1837,-841,284,1365,2239,2772,728},
{2352,2048,565,-1108,-2408,-2896,-2408,-1108,565,2048,2841,2676,1609,0,-1609,-2676,-2841,-2048,-565,1108,2408,2896,2408,1108,-565,-2048,-2841,-2676,-1609,0,1609,2676,489},
{2401,1365,-841,-2554,-2772,-1365,841,2554,2772,1365,-841,-2554,-2772,-1365,841,2554,2772,1365,-841,-2554,-2772,-1365,841,2554,2772,1365,-841,-2554,-2772,-1365,841,2554,371},
{2375,565,-2048,-2841,-1108,1609,2896,1609,-1108,-2841,-2048,565,2676,2408,0,-2408,-2676,-565,2048,2841,1108,-1609,-2896,-1609,1108,2841,2048,-565,-2676,-2408,0,2408,301},
{2299,-284,-2772,-1837,1365,2882,841,-2239,-2554,284,2772,1837,-1365,-2882,-841,2239,2554,-284,-2772,-1837,1365,2882,841,-2239,-2554,284,2772,1837,-1365,-2882,-841,2239,255},
{2184,-1108,-2841,0,2841,1108,-2408,-2048,1609,2676,-565,-2896,-565,2676,1609,-2048,-2408,1108,2841,0,-2841,-1108,2408,2048,-1609,-2676,565,2896,565,-2676,-1609,2048,224},
{2038,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,2239,-1837,-2239,1837,201},
{1864,-2408,-1108,2841,0,-2841,1108,2408,-2048,-1609,2676,565,-2896,565,2676,-1609,-2048,2408,1108,-2841,0,2841,-1108,-2408,2048,1609,-2676,-565,2896,-565,-2676,1609,184},
{1667,-2772,284,2554,-2239,-841,2882,-1365,-1837,2772,-284,-2554,2239,841,-2882,1365,1837,-2772,284,2554,-2239,-841,2882,-1365,-1837,2772,-284,-2554,2239,841,-2882,1365,171},
{1448,-2896,1609,1108,-2841,2048,565,-2676,2408,0,-2408,2676,-565,-2048,2841,-1108,-1609,2896,-1609,-1108,2841,-2048,-565,2676,-2408,0,2408,-2676,565,2048,-2841,1108,161},
{1212,-2772,2554,-841,-1365,2772,-2554,841,1365,-2772,2554,-841,-1365,2772,-2554,841,1365,-2772,2554,-841,-1365,2772,-2554,841,1365,-2772,2554,-841,-1365,2772,-2554,841,154},
{960,-2408,2896,-2408,1108,565,-2048,2841,-2676,1609,0,-1609,2676,-2841,2048,-565,-1108,2408,-2896,2408,-1108,-565,2048,-2841,2676,-1609,0,1609,-2676,2841,-2048,565,148},
{696,-1837,2554,-2882,2772,-2239,1365,-284,-841,1837,-2554,2882,-2772,2239,-1365,284,841,-1837,2554,-2882,2772,-2239,1365,-284,-841,1837,-2554,2882,-2772,2239,-1365,284,145},
{422,-1108,1609,-2048,2408,-2676,2841,-2896,2841,-2676,2408,-2048,1609,-1108,565,0,-565,1108,-1609,2048,-2408,2676,-2841,2896,-2841,2676,-2408,2048,-1609,1108,-565,0,143},
};
/////////////////////////////////////////////////////////////////
//////////////////////////FFT////////////////////////////////////
/////////////////////////////////////////////////////////////////
void CFFTCalc::FFT_Calc(int16 xbno,int16 *pu,int16 *pustart,int16 *puend)
{
if(xbno<0 || xbno>=FFT_XBNUMS)
{
m_realvalue = 0;
m_virvalue = 0;
return;
}
if(xbno == 1 && pustart == NULL && puend == NULL)
{
FFT_CalcJB(pu);
return;
}
long long ta=0,tb=0;
const int16 *curpu = pu;
const int16 *currealcoef = stc_fftrealcoef[xbno];
const int16 *curvircoef = stc_fftvircoef[xbno];
for(int16 i=0;i<FFT_N;i++)
{
ta += ((int32)(*curpu) * (int32)(*currealcoef)) ;
tb += ((int32)(*curpu) * (int32)(*curvircoef)) ;
currealcoef++;
curvircoef++;
curpu++;
if(puend != NULL)
{
if(curpu>puend)
{
curpu = pustart;
}
}
}
m_realvalue = ta>>16;
m_virvalue = tb>>16;
}
void CFFTCalc::FFT_CalcJB(int16 *pu)
{
long long ta=0,tb=0;
ta += -14703*((int32)pu[0]-pu[32]);
ta += 565*((int32)pu[1]+pu[15]-pu[17]-pu[31]);
ta += 1108*((int32)pu[2]+pu[14]-pu[18]-pu[30]);
ta += 1609*((int32)pu[3]+pu[13]-pu[19]-pu[29]);
ta += 2048*((int32)pu[4]+pu[12]-pu[20]-pu[28]);
ta += 2408*((int32)pu[5]+pu[11]-pu[21]-pu[27]);
ta += 2676*((int32)pu[6]+pu[10]-pu[22]-pu[26]);
ta += 2841*((int32)pu[7]+pu[9]-pu[23]-pu[25]);
ta += 2896*((int32)pu[8]-pu[24]);
tb += 1448*((int32)pu[0]+pu[32]);
tb += 2841*((int32)pu[1]-pu[15]-pu[17]+pu[31]);
tb += 2676*((int32)pu[2]-pu[14]-pu[18]+pu[30]);
tb += 2408*((int32)pu[3]-pu[13]-pu[19]+pu[29]);
tb += 2048*((int32)pu[4]-pu[12]-pu[20]+pu[28]);
tb += 1609*((int32)pu[5]-pu[11]-pu[21]+pu[27]);
tb += 1108*((int32)pu[6]-pu[10]-pu[22]+pu[26]);
tb += 565*((int32)pu[7]-pu[9]-pu[23]+pu[25]);
tb += -2896*((int32)pu[16]);
m_realvalue = ta>>16;
m_virvalue = tb>>16;
}
int16 CFFTCalc::FFT_CalcAngle()
{
iq15 TempValue = 1;//IQ15atan2(IQ15(m_realvalue),IQ15(m_virvalue));
TempValue = TempValue * IQ15(57.29578);
return IQ15FLOAT_ROUND_TO_INT(TempValue);
}
int16 CFFTCalc::FFT_CalcMagValue()
{
return IQint(IQmag(IQ(m_realvalue),IQ(m_virvalue)));
}