次优二叉树

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• 原理
• 完整事例演示

原理

首先取出查找表中每个关键字及其对应的权值，采用如下公式计算出每个关键字对应的一个值：

其中 wj 表示每个关键字的权值（被查找到的概率），h 表示关键字的个数。

表中有多少关键字，就会有多少个 △Pi ，取其中最小的做为次优查找树的根结点，然后将表中关键字从第 i 个关键字的位置分成两部分，分别作为该根结点的左子树和右子树。同理，左子树和右子树也这么处理，直到最后构成次优查找树完成。

typedef int KeyType;//定义关键字类型
typedef struct{
    KeyType key;
}ElemType;//定义元素类型
typedef struct BiTNode{
    ElemType data;
    struct BiTNode *lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

//定义变量
int i;
int min;
int dw;
//创建次优查找树，R数组为查找表，sw数组为存储的各关键字的概率（权值），low和high表示的sw数组中的权值的范围
void SecondOptimal(BiTree T, ElemType R[], float sw[], int low, int high){
    //由有序表R[low...high]及其累计权值表sw（其中sw[0]==0）递归构造次优查找树
    i = low;
    min = abs(sw[high] - sw[low]);
    dw = sw[high] + sw[low - 1];
    //选择最小的△Pi值
    for (int j = low+1; j <=high; j++){
        if (abs(dw-sw[j]-sw[j-1])<min){
            i = j;
            min = abs(dw - sw[j] - sw[j - 1]);
        }
    }
   
    T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
    T->data = R[i];//生成结点（第一次生成根）
    if (i == low) T->lchild = NULL;//左子树空
    else SecondOptimal(T->lchild, R, sw, low, i - 1);//构造左子树
    if (i == high) T->rchild = NULL;//右子树空
    else SecondOptimal(T->rchild, R, sw, i + 1, high);//构造右子树
   
}

完整事例演示

例如，一含有 9 个关键字的查找表及其相应权值如下表所示：

则构建次优查找树的过程如下：首先求出查找表中所有的 △P 的值，找出整棵查找表的根结点：

例如，关键字 F 的 △P 的计算方式为：从 G 到 I 的权值和 - 从 A 到 E 的权值和 = 4+3+5-1-1-2-5-3 = 0。

通过上图左侧表格得知，根结点为 F，以 F 为分界线，左侧子表为 F 结点的左子树，右侧子表为 F 结点的右子树（如上图右侧所示），继续查找左右子树的根结点：

通过重新分别计算左右两查找子表的 △P 的值，得知左子树的根结点为 D，右子树的根结点为 H （如上图右侧所示），以两结点为分界线，继续判断两根结点的左右子树：
通过计算，构建的次优查找树如上图右侧二叉树所示。后边还有一步，判断关键字 A 和 C 在树中的位置，最后一步两个关键字的权值为 0 ，分别作为结点 B 的左孩子和右孩子，这里不再用图表示。

注意：在建立次优查找树的过程中，由于只根据的各关键字的 P 的值进行构建，没有考虑单个关键字的相应权值的大小，有时会出现根结点的权值比孩子结点的权值还小，此时就需要适当调整两者的位置。
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