【LeetCode】Unique Binary Search Trees II 异构二叉查找树II

本文为大便一箩筐的原创内容，转载请注明出处，谢谢：http://www.cnblogs.com/dbylk/p/4048209.html 

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原题：

Given n, generate all structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n.

For example,
Given n = 3, your program should return all 5 unique BST's shown below.

   　　1         3     3      2      1
   　　        /     /      /       
   　　  3     2     1      1   3      2
  　　  /     /                        
 　　  2     1         2                 3

OJ's Binary Tree Serialization:

The serialization of a binary tree follows a level order traversal, where '#' signifies a path terminator where no node exists below.

Here's an example:

　　   1
　　  / 
　　 2   3
　　    /
　　   4
　　    
　　     5

The above binary tree is serialized as "{1,2,3,#,#,4,#,#,5}".

 

解释：

对给定的数字 n，生成所有储存了数字 1 至 n 的结构不同的 BST's （二叉查找树）。

举个栗子 ⊙o⊙，
假如给定的 n = 3，你的程序应该返回如下图所示的5个不同的二叉查找树。

　　   1         3     3      2      1
　　           /     /      /       
　　     3     2     1      1   3      2
　　    /     /                        
　　   2     1         2                 3

OJ's 二叉树的序列化:

二叉树的序列化遵循水平阶遍历，“#”表示没有节点存在。

这儿有一个栗子 ⊙o⊙ :

　　   1
　　  / 
　　 2   3
　　    /
　　   4
　　    
　　     5

上图的二叉树序列化后的结果为“{1，2,3，#，#，4，#，#，5}”。

 

思路：

这道题是 Unique Binary Search Trees 的升级版，解决方法同样是动态规划。

在做 Unique Binary Search Trees 这道题时，我们用一个数组保存 1 至 n-1 对应的不同二叉树的个数 X₁、X₂、X₃、... X_n-1，

则 n 对应的不同二叉树个数X_n = X_n-1 + X₁*X_n-2 + X₂*X_n-3 + X₃*X_n-4 + ... + X_n-2*X₁ + X_n-1

 　　通过这个递推式，我们可以从 N = 1 开始递推，最后得到 N = n 时不同二叉查找树的个数。

 

与上述思路类似，我们可以通过深度优先搜索（递归）解决这道题。

因为二叉查找树满足父节点的值大于左子节点的值，小于右子节点的值，所以我们可以：

(1) 从 N=1 开始构建二叉查找树，则它的左子树节点数为 0，右子树节点数为 n-1；

(2) N=2 时，左子树节点数为 1，右子树节点数为 n-2；

……

(n) N=n 时，左子树节点数为 n-1，右子树节点数 0。

 

而在第(1)步中，右子树继续执行上述循环，子树的子树又执行这个循环，最终，我们可以将子树节点数减少到 1，而一个节点只有一种排列方式，所以此时可以毫不犹豫地将结果返回给上一级。然后包含有两个节点的二叉树排列方式又被返回给上一级。……

依此类推，我们最后可以得到所有不同结构的二叉查找树。

 

源码：

// Author DaBianYiLuoKuang.
// http://www.cnblogs.com/dbylk/

class Solution {
public:
    vector<TreeNode *> generateTrees(int n) {
        return GenerateSubTree(1, n + 1);
    }

    vector<TreeNode*> GenerateSubTree(int l, int r) {
        vector<TreeNode *> subTree;

        if (l >= r) {
            subTree.push_back(NULL);
            return subTree;
        }

        if (l == r - 1) {
            subTree.push_back(new TreeNode(l));
            return subTree;
        }


        for (int i = l; i < r; ++i) {
            vector<TreeNode *> leftSubTree = GenerateSubTree(l, i);
            vector<TreeNode *> rightSubTree = GenerateSubTree(i + 1, r);

            for (int m = 0; m < leftSubTree.size(); ++m) {
                for (int n = 0; n < rightSubTree.size(); ++n) {
                    TreeNode *root = new TreeNode(i);
                    root->left = leftSubTree[m];
                    root->right = rightSubTree[n];
                    subTree.push_back(root);
                }
            }
        }

        return subTree;
    }
};