数据结构：七 图

1. 图的定义

定义

• 图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E）

• G 表示一个图，V 是图 G 中顶点的集合，E 是图 G 中边的集合

• 线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点（Vertex）

• 在图结构中，不允许没有顶点。在定义中，若 V 是顶点的集合，则强调了顶点集合 V 有穷非空

  • 线性表中可以没有数据元素，称为空表
  • 树中可以没有结点，叫做空树

• 图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的

  • 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系
  • 树结构中，相邻两层的结点具有层次关系
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各种图定义

• 无向边：若顶点 v_i 到 v_j 之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge），用无序偶对（v_i，v_j）来表示

• 有向边：若从顶点 v_i 到 v_j 的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧（Arc）

  • 用有序偶 <v_i，v_j> 来表示，v_i 称为弧尾（Tail），v_j 称为弧头（Head）

• 简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现

• 无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边

• 有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧

• 有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图

• 权（Weight）：与图的边或弧相关的数

  • 这些权可以表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费
  • 这种带权的图通常称为网（Network）

图的顶点与边间关系

• 对于无向图 G=（V，{E}），如果边（v，v'）属于 E，则称顶点 v 和 v' 互为邻接点（Adjacent），即 v 和 v' 相邻接
• 边（v，v'）依附（incident）于顶点 v 和 v'，或者说（v，v'）与顶点 v 和 v' 相关联
• 顶点 v 的度（Degree）是和 v 相关联的边的数目，记作 TD（v）
• 路径的长度是路径上的边或弧的数目
• 第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环（Cycle）
• 序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径
• 除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环
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连通图相关术语

• 在无向图 G 中，如果从顶点 v 到顶点 v' 有路径，则称 v 和 v' 是连通的。

• 如果对于图中任意两个顶点 v_i v_j 属于 E ，v_i 和 v_j 都是连通的，则称 G 是连通图（Connected Graph）

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• 无向图中的极大连通子图称为连通分量

  • 要是子图
  • 子图是连通的
  • 连通子图含有极大顶点数
  • 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边

• 在有向图 G 中，如果对于每一对 v_i v_j 属于 V，v_i 不等于 v_j，从 v_i 到 v_j 和从 v_j 到 v_i 都存在路径，则称 G 是强连通图

• 有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量

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• 连通图的生成树定义

  • 一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的 n 个顶点，但只有足以构成一棵树的 n-1 条边
  • 如果一个有向图恰有一个顶点的入度为 0，其余顶点的入度为 1，则是一棵有向树
  • 一个有向树的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧

 

2. 图的抽象数据类型

ADT 图(Graph)

Data
    顶点的有穷非空集合和边的集合

Operation
    CreateGraph(*G,V,VR)：按照顶点集V和边弧集VR的定义构造图G
    DestroyGraph(*G)：图G存在则销毁
    LocateVex(G,u)：若图G中存在顶点u,则返回图中位置
    GetVex(G,v)：返回图中顶点v的值
    PutVex(G,v,value)：将图G中顶点v赋值给value
    FirstAdjVex(G,*v)：返回顶点v的一个邻接顶点，若顶点在G中无邻接顶点则返回空
    NextAdjVex(G,v,*w)：返回顶点v相对于顶点w的下一个邻接顶点，若w是v的最后一个邻接点则返回空
    InsertVex(*G,v)：在图G中增加新顶点v
    DeleteVex(*G,v)：删除图G中顶点v及其相关的弧
    InsertArc(*G,v,w)：在图G中添加弧<v,w>,若G是无向图，还需要添加对称弧<w,v>
    DeleteArc(*G,v,w)：在图G中删除弧<v,w>,若G是无向图，则需要删除对称弧<w,v>
    DFSTraverse(G)：对图G中进行深度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用
    HFSTraverse(G)：对图G中进行广度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用

endADT

3. 图的存储结构

邻接矩阵

• 图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图

  • 一个一维数组存储图中顶点信息
  • 一个二位数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息

• 对称矩阵：n 阶矩阵的元满足 a_ij = a_ji（0 <= i, j <= n）

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邻接表

• 数组与链表相结合的存储方法称为邻接表（Adjacency List）

  • 图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便
  • 另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息
  • 图中每个顶点 v_i 的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点 v_i 的边表，有向图则称为顶点 v_i 作为弧尾的出边表
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• 无向图的邻接表结构

  • 顶点表的各个结点由 data 和 firstedge 两个域表示

    • data 是数据域，存储顶点的信息，
    • firstedge 是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点

  • 边表结点由 adjvex 和 next 两个域组成

    • adjvex 是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标
    • next 则存储指向边表中下一个结点的指针

• 有向图的逆邻接表

  • 对每个顶点 v_i 都建立一个链接为 v_i 为弧头的表
  • 对带权值得网图，可在边表结点定义中再增加一个 weight 的数据域，存储权值信息即可

十字链表

• 重新定义顶点表结点结构

  • firstin 表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点
  • firstout 表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点
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• 重新定义边表结点结构

  • tailvex 是指弧起点在顶点表的下标
  • headvex 是指弧终点在顶点表中的下标
  • headlink 是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边
  • taillink 是指边表指针域，指向起点相同的下一条边
  • 如果是网，还可以增加一个 weight 域来存储权值
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邻接多重表

• 重新定义边表结点结构

  • ivex 和 jvex 是与某条边依附的两个顶点在顶点表中下标
  • ilink 指向依附顶点 ivex 的下一条边
  • jlink 指向依附顶点 jvex 的下一条边
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边集数组

• 边集数组是由两个一维数组构成

  • 一个是存储顶点的信息
  • 另一个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标（begin），终点下标（end）和权（weight）组成

• 定义的边数组结构

  • begin 是存储起点下标，end 是存储终点下标，weight 是存储权值

 

4. 图的遍历

从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这过程叫图的遍历

深度优先遍历（Depth First Search，DFS）

• 对于连通图

  • 从图中某个顶点 v 出发，访问此顶点，然后从 v 的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和 v 有路径相通的顶点都被访问到

• 对于非连通图

  • 只需要对它的连通分量分别进行深度优先遍历，即在先前一个顶点进行一次深度优先遍历后，若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止

• 图的深度优先遍历类似树的前序遍历

• 深度遍历更适合目标明确，以找到目标为主要目的

广度优先遍历（Breadth First Search，BFS）

• 图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历
• 广度优先更适合在不断扩大遍历范围时找到相对最优解

 

5. 最小生成树

定义

• 构建连通网的最小代价生成树

普利姆（Prim）算法

• 以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树

克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

 

6. 最短路径

定义

• 非网图

  • 由于非网图它没有边上的权值，所谓的最短路径，其实就是指两顶点之间经过的边数最少的路径

• 网图

  • 对于网图来说，最短路径是指两顶点之间经过的边上权值之和最少的路径，并且我们称路径上的第一个顶点是源点，最后一个顶点是终点

迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

弗洛伊德（Floyd）算法

 

7. 拓扑排序

拓扑排序介绍

• AOV 网（Activity On Vertex Network）

  • 在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，我们称为 AOV 网

• 拓扑序列

  • 设 G=(V, E) 是一个具有 n 个顶点的有向图，V 中的顶点序列 v₁，v₂，······，v_n，满足若从顶点 v_i 到 v_j 有一条路径，则在顶点序列中顶点 v_i 必在顶点 v_j 之前。则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列

• 拓扑排序

  • 对一个有向图构造拓扑序列的过程

  • 构造时会有两个结果

    • 如果此网的全部顶点都被输出，则说明它是不存在环（回路）的 AOV 网
    • 如果输出顶点数少了，哪怕是少了一个，也说明这个网存在环（回路），不是 AOV 网

拓扑排序算法

• 基本思路

  • 从 AOV 网中选择一个入度为 0 的顶点输出，然后删除此顶点，并删除以此顶点为尾的弧，继续重复此步骤，直到输出全部顶点或者 AOV 网中不存在入度 0 的顶点为止

 

8. 关键路径

定义

• AOE 网

  • 在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为 AOE 网（Activity On Edge Network）
  • 没有入边的顶点称为始点或源点
  • 没有出边的顶点称为终点或汇点
  • 由于一个工程，总有一个开始一个结束，所以正常情况下，AOE 网只有一个源点一个汇点

• 路径长度：路径上各个活动所持续的时间之和

• 关键路径：从源点到汇点具有最大长度的路径

• 关键活动：在关键路径上的活动

关键路径算法原理

• 找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间，并且比较它们，如果相等就意味着此活动是关键活动，活动间的路径为关键路径；如果不等，则就不是

• 参数定义

  • 事件的最早发生时间 etv（earliest time of vertex）

    • 即顶点 v_k 的最早发生时间

  • 事件的最晚发生时间 ltv（latest time of vertex）

    • 即顶点 v_k 的最晚发生时间，也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此时间将会延误整个工期

  • 活动的最早开工时间 ete（earliest time of edge）

    • 即弧 a_k 的最早发生时间

  • 活动的最晚开工时间 lte（latest time of edge）

    • 即弧 a_k 的最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间

关键路径算法