扩展欧几里得笔记

扩欧求逆元~~

若有$a$和$x$满足$ax≡1(mod p)$，则称$a$和$x$是在模$p$意义下的乘法逆元，此时在模$p$意义下乘以$x$相当于除以$x$。

一个数有逆元的充要条件是$gcd(a,p)=1$，此时逆元唯一存在。

给定$p$，要求$a$的逆元，相当于求解同余方程$ax≡1(mod p)$；

容易转化为求解方程$ax-py=1$。

所以就可以用解二元一次方程的解法，解出一组的解$x_{0}$，$y_{0}$，然后检验$gcd(a,p)$是否为1；

注意到当$p$为质数的时候可以省略这一步；

然后调整$x_{0}$到$0...m-1$的范围中就行了。

没了？

时间复杂度$O(nlogn)$

代码：

//求mod998244353意义下的逆元 
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#define mod 998244353
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    if(!b){
        d=a;
        x=1;
        y=0;
    }else{
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
ll getinv(int a,int p){
    ll d,x,y;
    exgcd(a,p,d,x,y);
    return (x+p)%p;
}
int main(){
    scanf("%lld",&a);
    printf("%lld",getinv(a,mod)); 
    return 0;
}