排列组合问题总结

排列组合

根本思想还是组合数学的加法原则，将一个状态分成几个不相交的状态，然后用加法原则加起来即可

1.球同，盒不同，无空箱

如果：n>=m $C(n-1,m-1)$

否则 n<m $0$

分析 :

使用插板法：n个球中间有n-1个间隙，现在要分成m个盒子，而且不能有空箱子，所以只要在n-1个间隙选出m-1个间隙即可。

2.球同，盒不同，允许空箱

$C(n+m-1,m-1)$

我们在第1类情况下继续讨论，我们可以先假设m个盒子里都放好了1个球，所以说白了就是，现在有m+n个相同的球，要放入m个不同的箱子，没有空箱。也就是第1种情况

3.球不同，盒相同，无空箱

第二类斯特林数dp[n][m]

dp[n][m]表示n个球 m个盒子的方法数

分两种状态

1.第n个球单独在一个盒子里 有dp[n-1][m-1]

2.第n个球不单独在一个盒子里 有m*dp[n-1][m]

$dp[n][m]=m * dp[n-1][m]+dp[n-1][m-1]$

边界条件：

dp[k][k]=1, k>=0

dp[k][0]=0,k>=1

0,n<m

4.球不同，盒相同，允许空箱

枚举使用箱子的个数即可 此时的dp[n][m]是情况三的第二类的斯特林数

$ans=sum_{i=0}^m dp[n][i]$

5.球不同，盒不同，无空箱

$ans=dp[n][m]*m!$

因为球是不同的，所以dp[n][m]得到的盒子相同的情况，只要再给盒子定义顺序，就等于现在的答案了

6.球不同，盒不同，允许空箱

power(m,n) 表示m的n次方

每个球都有m种选择，所以就等于m^n

7.球同，盒同，允许空箱

n个球m个盒子，分两种情况

dp[n][m]代表n个球m个盒子允许空箱的个数

两种状态

1.每个盒子至少有一个球 有dp[n-m][m]种情况

2.至少有一个盒子没有球 有dp[n][m-1]种情况

n-m>=0:

$dp[n][m]=dp[n][m-1]+dp[n-m][m]$

n<m:

$dp[n][m]=dp[n][m-1]$

8.球同，盒同，无空箱

dp[n-m][m],dp同第7种情况,n>=m 0, n<m

因为要求无空箱，我们先在每个箱子里面放1个球，然后还剩下n-m个球了，再根据情况7答案就出来了