原根

原根

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$满足a^r equiv 1 (mod m)的最小r 表示a对模m的阶,记作delta_{m}(a)$

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$若delta_{m}(a)=varphi(m)，则称a是模m的原根$

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$若m有原根,则原根个数为varphi(varphi(m))$
证明:
首先生成元的概念见算到31.4
对于任意一个$(a,m)=1$, 如果a是m的原根， 那么 a 是整数模m乘法群（即加法群 $Z/mZ $的可逆元，也就是所有与 m 互素的正整数构成的等价类构成的乘法群）$Zm^*$ 的一个生成元,考虑这$varphi(m)$个数:$a^1,a2,... a^{{varphi(m)}$，如果$a}p$为原根，那么就要求，他的某个乘方是$a^1$，这个时候$p$和$varphi(m)$互质，
所以原根个数为$varphi(varphi(m)).$