寻找最小的k个数

题目描述

输入n个整数，输出其中最小的k个。

分析与解法

解法一

要求一个序列中最小的k个数，按照惯有的思维方式，则是先对这个序列从小到大排序，然后输出前面的最小的k个数。

至于选取什么的排序方法，我想你可能会第一时间想到快速排序（我们知道，快速排序平均所费时间为n*logn），然后再遍历序列中前k个元素输出即可。因此，总的时间复杂度：O（n * log n)+O(k)=O（n * log n）。

解法二

咱们再进一步想想，题目没有要求最小的k个数有序，也没要求最后n-k个数有序。既然如此，就没有必要对所有元素进行排序。这时，咱们想到了用选择或交换排序，即：

1、遍历n个数，把最先遍历到的k个数存入到大小为k的数组中，假设它们即是最小的k个数；
2、对这k个数，利用选择或交换排序找到这k个元素中的最大值kmax（找最大值需要遍历这k个数，时间复杂度为O（k））；
3、继续遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与kmax比较：如果x < kmax ，用x替换kmax，并回到第二步重新找出k个元素的数组中最大元素kmax‘；如果x >= kmax，则继续遍历不更新数组。

每次遍历，更新或不更新数组的所用的时间为O（k）或O（0）。故整趟下来，时间复杂度为n*O（k）=O（n*k）。

void select_sortN(vector<int> &vec, int n)
{
    int size = vec.size();
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        int k = i;
        for(int j = i; j < size; ++j)
        {
            if(vec[k] > vec[j])
            {
                k = j;
            }
        }
        swap(vec[k], vec[i]);
    }
}

解法三

更好的办法是维护容量为k的最大堆，原理跟解法二的方法相似：

• 1、用容量为k的最大堆存储最先遍历到的k个数，同样假设它们即是最小的k个数；
• 2、堆中元素是有序的，令k1<k2<...<kmax（kmax设为最大堆中的最大元素）
• 3、遍历剩余n-k个数。假设每一次遍历到的新的元素的值为x，把x与堆顶元素kmax比较：如果x < kmax，用x替换kmax，然后更新堆（用时logk）；否则不更新堆。

这样下来，总的时间复杂度:O（k+（n-k）*logk）=O（n*logk）。此方法得益于堆中进行查找和更新的时间复杂度均为：O(logk)（若使用解法二：在数组中找出最大元素，时间复杂度：O（k））。

void heap_sortN(vector<int> &vec, vector<int> &res, int n)
{
    for(int i = 0; i != n; ++i)
    {
        make_heap(vec.begin(), vec.end(), [](int i, int j){return i > j;});
        res.push_back(*vec.begin());
        vec.erase(vec.begin());
    }
}

解法四

在《数据结构与算法分析--c语言描述》一书，第7章第7.7.6节中，阐述了一种在平均情况下，时间复杂度为O（N）的快速选择算法。如下述文字：

• 选取S中一个元素作为枢纽元v，将集合S-{v}分割成S1和S2，就像快速排序那样
  • 如果k <= |S1|，那么第k个最小元素必然在S1中。在这种情况下，返回QuickSelect(S1, k)。
  • 如果k = 1 + |S1|，那么枢纽元素就是第k个最小元素，即找到，直接返回它。
  • 否则，这第k个最小元素就在S2中，即S2中的第（k - |S1| - 1）个最小元素，我们递归调用并返回QuickSelect(S2, k - |S1| - 1)。

此算法的平均运行时间为O(n)。

下面代码实现了quickselect,前n个数就保存在原数组中.

void select_minK(vector<int> &vec, int start, int end, int n)
{
    int temp = vec[start];
    int i = start, j = end;
    bool flag = true;
    while(i != j)
    {
        if(flag)
        {
            if(vec[j] >= temp)
            {
                --j;
            }
            else
            {
                vec[i] = vec[j];
                flag = false;
                continue;
            }
        }


        if(!flag)
        {
            if(vec[i] <= temp)
            {
                ++i;
            }
            else
            {
                vec[j] = vec[i];
                flag = true;
                continue;
            }
        }
    }
    vec[i] = temp;

    if(i - start == n - 1)
    {
        return ;
    }
    else if(i - start < n - 1)
    {
        return select_minK(vec, i + 1, end, n - (i - start) - 1);
    }
    else
    {
        return select_minK(vec, start, i - 1, n);
    }
}

这个快速选择SELECT算法，类似快速排序的划分方法。N个数存储在数组S中，再从数组中选取“中位数的中位数”作为枢纽元X，把数组划分为Sa和Sb俩部分，Sa<=X<=Sb，如果要查找的k个元素小于Sa的元素个数，则返回Sa中较小的k个元素，否则返回Sa中所有元素+Sb中小的k-|Sa|个元素，这种解法在平均情况下能做到O(n)的复杂度。

更进一步，《算法导论》第9章第9.3节介绍了一个最坏情况下亦为O(n)时间的SELECT算法，有兴趣的读者可以参看。

举一反三

1、谷歌面试题：输入是两个整数数组，他们任意两个数的和又可以组成一个数组，求这个和中前k个数怎么做？

分析：

 “假设两个整数数组为A和B，各有N个元素，任意两个数的和组成的数组C有N^2个元素。
   那么可以把这些和看成N个有序数列：
          A[1]+B[1] <= A[1]+B[2] <= A[1]+B[3] <=…
          A[2]+B[1] <= A[2]+B[2] <= A[2]+B[3] <=…
          …
         A[N]+B[1] <= A[N]+B[2] <= A[N]+B[3] <=…
    问题转变成，在这N^2个有序数列里，找到前k小的元素”

2、有两个序列A和B,A=(a1,a2,...,ak),B=(b1,b2,...,bk)，A和B都按升序排列。对于1<=i,j<=k，求k个最小的（ai+bj）。要求算法尽量高效。

3、给定一个数列a1,a2,a3,...,an和m个三元组表示的查询，对于每个查询(i，j，k)，输出ai，ai+1，...，aj的升序排列中第k个数。

可以用类似于快排的思路去求解,代码如下:

int select_num(vector<int> &vec, int start, int end, int n)
{
    int temp = vec[start];
    int i = start, j = end;
    bool flag = true;
    while(i != j)
    {
        if(flag)
        {
            if(vec[j] >= temp)
            {
                --j;
            }
            else
            {
                vec[i] = vec[j];
                flag = false;
                continue;
            }
        }


        if(!flag)
        {
            if(vec[i] <= temp)
            {
                ++i;
            }
            else
            {
                vec[j] = vec[i];
                flag = true;
                continue;
            }
        }
    }
    vec[i] = temp;

    if(i - start == n - 1)
    {
        return temp;
    }
    else if(i - start < n - 1)
    {
        return select_num(vec, i + 1, end, n - (i - start) - 1);
    }
    else
    {
        return select_num(vec, start, i - 1, n);
    }
}

这里将start和end简化为坐标进行处理, 道理不变