正整数 n 的划分

题目

有一个正整数 n，如果存在 n1 + n2 + ... + nk = n (nk > 0)，则称 {n1, n2, ..., nk} 为正整数 n 的一个划分

问正整数 n 一共有多少个划分？

输入描述

一个正整数 n

输出描述

输出一个整数，表示 n 一共有多少个划分

样例输入

6

样例输出

11

代码

import java.util.Scanner;

/**
 * 例如正整数 6 有如下 11 种划分
 *          6
 *          5 1
 *          4 2         4 1 1
 *          3 3         3 2 1       3 1 1 1
 *          2 2 2       2 2 1 1     2 1 1 1 1
 *          1 1 1 1 1 1
 *  设 p(n, m) 为正整数 n 的所有划分中最大加数小于等于 m 的划分数
 *  则可以分为如下四种情况进行讨论：
 *
 *      (1) 当 n == 1 或者 m == 1 的时候，f(n, m) = 1
 *
 *      (2) 当 n == m 时，f(n, m) = f(n, m - 1) + 1
 *          因为在 n 的所有划分中，最大加数为 n 时，只有一种划分，即 {n}
 *          所以，f(n, m) 就等于最大加数为 m - 1 的划分数加 1
 *
 *      (3) 当 n < m 时，f(n, m) = f(n, n)
 *          因为在 n 的所有划分中，最大加数只能小于等于 n
 *
 *      (4) 当 n > m 时，f(n, m) = f(n, m - 1) + f(n - m, m)
 *          f(n, m - 1) 为最大加数小于等于 m - 1 的划分数
 *
 *          当最大加数为 m 时，那么每个划分序列有了一个 m，还差 n - m
 *          就相当于是 n - m 有多少个最大加数小于等于 m 的划分数，即 f(n - m, m)
 *
 *          这两部分之和就等于 f(n, m)
 */
public class Main {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt(), m = scanner.nextInt();
        System.out.println(split(n, m));
    }

    private static int split(int n, int m) {
        if (n == 1 || m == 1)
            return 1;
        else if (n == m)
            return split(n, n - 1) + 1;
        else if (n < m)
            return split(n, n);
        else
            return split(n, m - 1) + split(n - m, m);
    }
}