[bzoj4372] 烁烁的游戏 [动态点分治+线段树+容斥原理]

题面

传送门

思路

观察一下题目，要求的是修改“距离点$u$的距离一定的点权值”，那这个就不能用传统的dfs序类算法+线段树维护，因为涉及到向父亲回溯的问题

看到和树上距离相关的东西，还能想到什么呢？

没错，点分治算法

然后发现本题有修改操作，那动态点分治试一试？

如何点分治？

我们先把这棵树的点分树构造出来（后面的操作都是在点分树上的了）

注意到我们一开始的dfs序想法中，影响最大的是往父亲回溯是可以达到$O(n)$的，再操作会炸

但是点分树的深度是严格$O(log_2n)$的，所以我们要是往上回溯也最多会回溯$log_2n$个节点

那么这是不是说明我们可以在点分树上开好线段树，然后每次对于当前点和其所有祖先更新信息，这样单次操作时间复杂度是$O(log_2^2n)$的，可以过掉这道题

线段树上怎么操作？

确定了线段树之后，我们发现另一个问题，那就是每次往根走的时候，因为修改点到当前枚举的它的祖先是有一个距离的，所以我们在这一点的线段树上维护时只能更新一定深度的点，而且还要去掉之前已经更新过的点......

好麻烦，而且这个去掉的部分并没有什么办法做qwq

那么怎么办呢？我们可以考虑换个线段树的定义

我们之前的所有讨论，都是基于线段树的节点代表点分树上的真实节点（不管是dfs序还是bfs序之类的），但是这道题的一个关键就是距离 ，那么我们可不可以拿距离来定义一棵线段树呢？？

以距离为数组下标的线段树

我们对于每一个点开一棵动态开点线段树，定义线段树叶节点$l$，其值为$w[l]$，其代表当前节点$u$对$u$的点分树子树中距离为$l$的所有点做出的修改为$w[l]$

因为本题中所有的修改都是固定距离的，所以对同距离的点的修改可以合并在一起

那么接下来，我们来处理之前的去重问题

容易发现，现在的这棵线段树而言，我们只需要对某个点修改的同时，再新开另一棵线段树在这个点的父亲上，把当前点修改的部分记录在上面，询问的时候去掉（因为当前的定义是点分树子树中）

具体而言，对于点u，设当前已经枚举到了它的祖先f1，下一个是f2，修改的权值是w，询问距离范围是d

那么对于f1，我们需要更新区间$[0,d-dis(u,f1)]$，值加上w

同时我们在f2的第二棵线段树中，更新区间$[0,d-dis(u,f1)]$，值加上w

查询的时候，我们依旧从$u$每次往上跳，对于每个祖先$f$，我们在他的两棵线段树上单点查询，每次查询位置$dis(u,f)$，用第一棵线段树的值减去第二棵的

最后，修改和询问的时候，一开始都要对当前点u处理，因为$u$没有儿子需要斥掉（这一段本质是个容斥原理）

线段树是区间修改单点查询的动态开点线段树，使用标记永久化可以方便地实现

如果还有没说清楚的，可以参考一下代码qwq

Code

说起来算法还挺复杂的.....但是代码不算长哦

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<ctime>
#define ll long long
#define log lg2
using namespace std;
inline int read(){
	int re=0,flag=1;char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){
		if(ch=='-') flag=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	return re*flag;
}
int n,q,first[100010],cnte,son[100010],siz[100010],fa[100010],dep[100010],app[100010],sum;
int rt,log[500010],euler[500010],cntu=0,st[500010][20],back[500010];
struct edge{
	int to,next;
}a[200010];
inline void add(int u,int v){
	a[++cnte]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnte;
	a[++cnte]=(edge){u,first[v]};first[v]=cnte;
}
void getdep(int u,int f){
	int i,v;dep[u]=dep[f]+1;euler[++cntu]=dep[u];app[u]=cntu;back[cntu]=u;
	for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
		v=a[i].to;if(v==f) continue;
		getdep(v,u);
		euler[++cntu]=dep[u];back[cntu]=u;
	}
}
void ST(){
	log[1]=0;
	int i,j,l,r;
	for(i=2;i<=cntu;i++) log[i]=log[i>>1]+1;
	for(i=1;i<=cntu;i++) st[i][0]=i;
	for(j=1;j<=19;j++){
		for(i=1;i+(1<<j)<=cntu;i++){
			l=st[i][j-1];r=st[i+(1<<(j-1))][j-1];
			st[i][j]=(euler[l]<euler[r])?l:r;
		}
	}
}
int lca(int l,int r){//ST表rmq实现LCA
	l=app[l];r=app[r];
	if(l>r) swap(l,r);
	int k=log[r-l+1],x,y,re;
	x=st[l][k];y=st[r-(1<<k)+1][k];
	re=((euler[x]<euler[y])?x:y); 
	return back[re];
}
int getdis(int l,int r){
	return dep[l]+dep[r]-2*dep[lca(l,r)];
}

bool vis[100010]={0};
void getroot(int u,int f){
	int i,v;siz[u]=1;son[u]=0;
	for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
		v=a[i].to;if(vis[v]||v==f) continue;
		getroot(v,u);
		siz[u]+=siz[v];son[u]=max(son[u],siz[v]);
	}
	son[u]=max(son[u],sum-siz[u]);
	if(son[rt]>son[u]) rt=u;
}
void build(int u){//建立点分树
	int i,v;vis[u]=1;
	for(i=first[u];~i;i=a[i].next){
		v=a[i].to;if(vis[v]) continue;
		rt=0;son[rt]=1e9;sum=siz[v];
		getroot(v,0);fa[rt]=u;build(rt);
	}
}

int root[100010][2],lazy[20000010],cnt,ch[20000010][2];
void insert(int &cur,int l,int r,int ql,int qr,int val){
	if(!cur) cur=++cnt;
	if(l==ql&&r==qr){lazy[cur]+=val;return;}
	int mid=(l+r)>>1;
	if(qr<=mid) insert(ch[cur][0],l,mid,ql,qr,val);
	else{
		if(ql>mid) insert(ch[cur][1],mid+1,r,ql,qr,val);
		else{
			insert(ch[cur][0],l,mid,ql,mid,val);
			insert(ch[cur][1],mid+1,r,mid+1,qr,val);
		}
	}
}
void update(int u,int d,int val){
	int tmp=u,dis;
	insert(root[u][0],0,n,0,d,val);//先搞当前点
	for(;fa[u];u=fa[u]){
		dis=d-getdis(tmp,fa[u]);
		if(dis<0) continue;//如果距离已经大于询问的距离了，那么显然不用改了
		insert(root[fa[u]][0],0,n,0,dis,val);//分别更新两棵树
		insert(root[u][1],0,n,0,dis,val);
	}
}
int query(int cur,int l,int r,int pos){
	if(!cur) return 0;
	if(l==r) return lazy[cur];
	int mid=(l+r)>>1;
	if(pos<=mid) return lazy[cur]+query(ch[cur][0],l,mid,pos);
	else return lazy[cur]+query(ch[cur][1],mid+1,r,pos);
}
int getans(int u){
	int re=query(root[u][0],0,n,0),tmp=u;//先加上当前点询问
	for(;fa[u];u=fa[u]){
		re+=query(root[fa[u]][0],0,n,getdis(tmp,fa[u]))-query(root[u][1],0,n,getdis(tmp,fa[u]));//两个值相减
	}
	return re;
}
int main(){
	memset(first,-1,sizeof(first));
	n=read();q=read();int i,t1,t2,t3;char s[10];
	for(i=1;i<n;i++){
		t1=read();t2=read();
		add(t1,t2);
	}

	getdep(1,0);ST();
	son[rt]=1e9;rt=0;sum=n;
	getroot(1,0);build(rt);
	
	for(i=1;i<=q;i++){
		scanf("%s",s);
		if(s[0]=='Q'){
			t1=read();
			printf("%d
",getans(t1));
		}
		else{
			t1=read();t2=read();t3=read();
			update(t1,t2,t3);
		}
	}
}