[数据结构]树的基本概念

一、树的基本概念

1. 树的基本概念

   树是n个结点的有限集合T。当n=0时，称为空树；当n>0时，该集合满足如下条件：

   ​ ①其中必有一个称为根（root）的结点，它没有直接前驱，但有0个或多个直接后继。

   ​ ②其余n-1个结点可以划分成m（m>=0）互不相交的有限集T1，T2，T3，...Tm，其中Ti又是一棵树，称为根的子树。每棵子树的根节点有且仅有一个直接前驱，但有0个或多个直接后继。

   （树是以递归的形式定义的）

   下图为一棵树的逻辑结构图示，类似一棵倒长的树:

   

2. 树的图解表示法：

   1. 倒置树结构，（树形表示法），如上图所示。

      例如家族关系的表示，A有3个孩子，B、C、D；B有两个孩子E、F ；D有三个孩子H、I、J等。

   2. 文氏图表示法（嵌套集合表示法），如下图所示。

      例如某个国家A，分成3个省B、C、D；B省包括F、E市；E市包括K、L县等。

      

   3. 广义表形式（嵌套括号表示法），(A(B(E(K,L),F),C(G),D(H(M),I,J)))。

      例如一本书A分为B、C、D三章，B章又分为E、F两节，E节又分为K、L两段，等等。

   4. 凹入表示法，用位置的缩进表示其层次，实际上程序的锯齿形结构就是这种结构。

      如图：例如书的目录表的编排格式。

      

3. 树相关的术语

   

   • 结点：节点包括一个数据元素及若干指向其他结点的分支信息。
   • 结点的度：节点所拥有子树的个数称为节点的度。
   • 叶节点：度为0的节点，即无后继的结点，叶结点也称为终端节点。
   • 分支节点：度不为0的节点，分支节点又称非终端节点。一棵树中排除叶结点外的所有节点都是分支节点。
   • 祖先节点：从根节点到该节点所经分支上的所有节点。
   • 子孙节点：以某节点为根节点的子树中所有节点
   • 双亲节点：树中某节点有孩子节点，则这个节点称为它孩子节点的双亲节点，双亲节点也成为前驱节点，如：上图中 结点A 是B、C的双亲。
   • 孩子节点：树中一个节点的子树的根节点称为该节点的孩子节点，孩子节点也称为后继节点，如上图，结点B、C是A的孩子
   • 兄弟节点：具有相同双亲节点的节点称为兄弟节点，如：图中的H、I、J互为兄弟。
   • 堂兄弟结点：双亲在同一层，但并非同一个，的结点互为堂兄弟，如：上图中结点E、G、H互为堂兄弟。
   • 树的度：树中所有节点的度的最大值成为该树的度。
   • 结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，其他节点层次是双亲节点层次加1，以此类推；
   • 树的深度（高度）：树中所有节点的层次的最大值称为该树的深度。
   • 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；
   • 前辈：层号比该结点小的结点，都称为该节点的前辈。在上图中，结点A、B、C、D都可称为结点E的前辈。
   • 后辈：层号比该结点大的结点，都称为该结点的后辈。在上图中，结点K、L、M都可称为结点E的后辈。

4. 树的ADT定义

   树的抽象数据类型定义：

   ADT Tree

   {

   数据对象D：

   ​ 一个集合，该集合中的所有元素具有相同的特性。

   结构关系R:
   若D为空集，则为空树。若D中仅含有一个数据元素，则R为空集，否 则R={H}，H是如下的二元关系：

   ① 在D中存在惟一的称为根的数据元素root，它在关系H下没有前驱。

   ② 除root以外，D中每个结点在关系H下都有且仅有一个前驱。

   基本操作：

   1. InitTree (Tree): 将Tree初始化为一棵空树。

   2. DestoryTree (Tree):销毁树 Tree。

   3. CreateTree (Tree):创建树 Tree。

   4. TreeEmpty (Tree): 若Tree为空，则返回TRUE，否则返回FALSE。

   5. Root (Tree):返回树Tree的根。

   6. Parent (Tree，x):树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x为非根结点，则返回它的双亲，否则返回“空”。

   7. FirstChild (Tree，x):树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x为非叶子结点， 则返回它的第一个孩子结点，否则返回“空”。

   8. NextSibling (Tree，x): 树Tree存在，x是Tree中的某个结点。若x不是其双亲的最后一个孩子结点，则返回x后面的下一个兄弟结点，否则返回“空”。

   9. InsertChild (Tree，p，Child):树Tree存在，p指向Tree中某个结点，非空树Child 与Tree不相交。将Child插入Tree中，做p所指向结点的子树。

   10. DeleteChild (Tree，p，i):树 Tree 存在，p 指向 Tree 中某个结点1<=i<=d, d 为P所指向结点的度。删除Tree中p所指向结点的第i棵子树。

   11. TraverseTree (Tree, Visit ()):树 Tree 存在，Visit ()是对结点进行访问的函数。按照某种次序对树Tree的每个结点调用Visit ()函数访问一次且最多一次。 若Visit ()失败，则操作失败。

   }

补：

树的先序遍历对应二叉树的先序遍历
树的后序遍历对应二叉树的中序遍历