【洛谷】【归并排序】P1908 逆序对

【题目描述：】

猫猫TOM和小老鼠JERRY最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。最近，TOM老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中ai>aj且i<j的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。

【输入格式：】

第一行，一个数n，表示序列中有n个数。

第二行n个数，表示给定的序列。

【输出格式：】

给定序列中逆序对的数目。

【算法分析：】

定义：

　　对于序列a，如果i < j 且 a[i] > a[j]，则称a[i]、a[j]为a序列的一组逆序对

由定义可知，一个长度为n的序列最多有n * (n - 1) / 2个逆序对，注意n的取值范围，一些情况下ans要开long long

冒泡求逆序对：

求逆序对可以用冒泡排序来做，每次交换相邻两个元素的时候逆序对的个数便增加一

冒泡排序（从小到大）其实就是通过消除逆序对来保证序列的有序性。

但是每次只找到一个逆序对效率太低，时间复杂度O(n²)

归并排序求逆序对：

还有一种稳定的排序算法：归并排序，也可以用来求逆序对的数量

假设[l, mid]区间内的元素构成集合A，[mid + 1, r]内的元素构成集合B

由于A、B集合内的数字都是已经从小到大排好了的，

所以如果A_i > B_j ，即这两个元素能够构成一个逆序对，

则 A_{[i, mid]} 中的所有元素都可以和B_j构成逆序对

这样子就找到了一组一组地求逆序对的方法，时间复杂度O(nlog₂n)

【代码：】

//归并排序求逆序对
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

const int MAXN = 100000 + 1;

int n, a[MAXN], tmp[MAXN];
long long ans;

void Merge_sort(int l, int r) {
    if(l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    Merge_sort(l, mid);
    Merge_sort(mid + 1, r);
    int i, j, cnt = l;
    for(i = l, j = mid + 1; i <= mid; i++) {
        for(; a[j] < a[i] && j <= r; j++)
            tmp[cnt++] = a[j], ans += mid - i + 1;
        tmp[cnt++] = a[i];
    }
    for(; j <= r; j++) tmp[cnt++] = a[j];
    for(i = l; i <= r; i++) a[i] = tmp[i];
}
int main() {
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a[i]);
    Merge_sort(1, n);
    printf("%lld
", ans);
}