【模板】动态规划的背包问题

01背包：

n件物品，背包最大载重为W，第i件物品的重量为w[i]，价值为v[i]，求在不超过W的情况下背包内物品价值的最大总和。

状态转移方程：

　　f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i])

　　1≤i≤n, w[i]≤j≤W

for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=W; j>=w[i]; --j)
    f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);

完全背包：

n种物品，每种物品可以选无数次，

背包最大载重为W，第i种物品的重量为w[i]，价值为v[i]，求在不超过W的情况下背包内物品价值的最大总和。

DP方程和01背包的一样，只不过循环顺序要从逆序变成正序

for(int i=1; i<=n; ++i)
for(int j=w[i]; j<=W; ++j)
    f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);

多重背包：

n种物品，每种物品有p[i]个，

背包最大载重为W，第i种物品的重量为w[i]，价值为v[i]，求在不超过W的情况下背包内物品价值的最大总和。

DP方程还是和01背包一样，不过要在第二层加一个p[i]次的循环，表示这一件物品要选p[i]次

for(int i=1; i<=n; ++i)
     for(int k=1; k<=p[i]; ++k)
         for(int j=W; j>=w[i]; --j)
             f[j] = max(f[j], f[j - w[i]] + v[i]);

多重背包的二进制优化：

把k拆成1 + 2  + 4 + 8  + ... + 2ⁿ + x的形式，这样原来的k件物品就变成了log₂ k件，再做01背包就好

int main() {
    n = read(), W = read();
    int cnt = 0;
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
            w[i] = read(), v[i] = read(), p[i] = read();
            int s = 1;
            while(p[i] > s) {
                ww[++cnt] = w[i] * s;
                vv[cnt] = v[i] * s;
                p[i] -= s;
                s <<= 1;
            }
            if(p[i]) {
                ww[++cnt] = w[i] * p[i];
                vv[cnt] = v[i] * p[i];
            }
    }
    for(int i=1; i<=cnt; ++i)
        for(int j=W; j>=ww[i]; --j)
            f[j] = max(f[j], f[j - ww[i]] + vv[i]);
}