Graham's Scan法求解凸包问题

概念

凸包(Convex Hull)是一个计算几何（图形学）中的概念。用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有点的。严谨的定义和相关概念参见维基百科：凸包。

这个算法是由数学大师葛立恒(Graham)发明的，他曾经是美国数学学会(AMS)主席、AT&T首席科学家以及国际杂技师协会(IJA)主席。（太汗了，这位大牛还会玩杂技~）

问题

给定平面上的二维点集，求解其凸包。

过程

1. 在所有点中选取y坐标最小的一点H，当作基点。如果存在多个点的y坐标都为最小值，则选取x坐标最小的一点。坐标相同的点应排除。然后按照其它各点p和基点构成的向量<H,p>与x轴的夹角进行排序，夹角由大至小进行顺时针扫描，反之则进行逆时针扫描。实现中无需求得夹角，只需根据向量的内积公式求出向量的模即可。以下图为例，基点为H，根据夹角由小至大排序后依次为H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面进行逆时针扫描。

2. 线段<H, K>一定在凸包上，接着加入C。假设线段<K, C>也在凸包上，因为就H，K，C三点而言，它们的凸包就是由此三点所组成。但是接下来加入D时会发现，线段<K, D>才会在凸包上，所以将线段<K, C>排除，C点不可能是凸包。

3. 即当加入一点时，必须考虑到前面的线段是否会出现在凸包上。从基点开始，凸包上每条相临的线段的旋转方向应该一致，并与扫描的方向相反。如果发现新加的点使得新线段与上线段的旋转方向发生变化，则可判定上一点必然不在凸包上。实现时可用向量叉积进行判断，设新加入的点为p_{n + 1}，上一点为p_n，再上一点为p_{n - 1}。顺时针扫描时，如果向量<p_{n - 1}, p_n>与<p_n, p_{n + 1}>的叉积为正（逆时针扫描判断是否为负），则将上一点删除。删除过程需要回溯，将之前所有叉积符号相反的点都删除，然后将新点加入凸包。

在上图中，加入K点时，由于线段<H,K>相对于<H,C>为顺时针旋转，所以C点不在凸包上，应该删除，保留K点。接着加入D点，由于线段<K, D>相对<H, K>为逆时针旋转，故D点保留。按照上述步骤进行扫描，直到点集中所有的点都遍例完成，即得到凸包。

复杂度

这个算法可以直接在原数据上进行运算，因此空间复杂度为O(1)。但如果将凸包的结果存储到另一数组中，则可能在代码级别进行优化。由于在扫描凸包前要进行排序，因此时间复杂度至少为快速排序的O(nlgn)。后面的扫描过程复杂度为O(n)，因此整个算法的复杂度为O(nlgn)。

C++/STL实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <math.h>
using namespace std;
//二维点(或向量)结构体定义
#ifndef _WINDEF_
struct POINT { int x; int y; };
#endif
typedef vector<POINT> PTARRAY;
//判断两个点(或向量)是否相等
bool operator==(const POINT &pt1, const POINT &pt2) {
	return (pt1.x == pt2.x && pt1.y == pt2.y);
}
// 比较两个向量pt1和pt2分别与x轴向量(1, 0)的夹角
bool CompareVector(const POINT &pt1, const POINT &pt2) {
	//求向量的模
	float m1 = sqrt((float)(pt1.x * pt1.x + pt1.y * pt1.y));
	float m2 = sqrt((float)(pt2.x * pt2.x + pt2.y * pt2.y));
	//两个向量分别与(1, 0)求内积
	float v1 = pt1.x / m1, v2 = pt2.x / m2;
	return (v1 > v2 || (v1 == v2 && m1 < m2));
}
//计算凸包
void CalcConvexHull(PTARRAY &vecSrc) {
	//点集中至少应有3个点，才能构成多边形
	if (vecSrc.size() < 3) {
		return;
	}
	//查找基点
	POINT ptBase = vecSrc.front(); //将第1个点预设为最小点
	for (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin() + 1; i != vecSrc.end(); ++i) {
		//如果当前点的y值小于最小点，或y值相等，x值较小
		if (i->y < ptBase.y || (i->y == ptBase.y && i->x > ptBase.x)) {
			//将当前点作为最小点
			ptBase = *i;
		}
	}
	//计算出各点与基点构成的向量
	for (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin(); i != vecSrc.end();) {
		//排除与基点相同的点，避免后面的排序计算中出现除0错误
		if (*i == ptBase) {
			i = vecSrc.erase(i);
		}
		else {
			//方向由基点到目标点
			i->x -= ptBase.x, i->y -= ptBase.y;
			++i;
		}
	}
	//按各向量与横坐标之间的夹角排序
	sort(vecSrc.begin(), vecSrc.end(), &CompareVector);
	//删除相同的向量
	vecSrc.erase(unique(vecSrc.begin(), vecSrc.end()), vecSrc.end());
	//计算得到首尾依次相联的向量
	for (PTARRAY::reverse_iterator ri = vecSrc.rbegin();
		ri != vecSrc.rend() - 1; ++ri) {
		PTARRAY::reverse_iterator riNext = ri + 1;
		//向量三角形计算公式
		ri->x -= riNext->x, ri->y -= riNext->y;
	}
	//依次删除不在凸包上的向量
	for (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin() + 1; i != vecSrc.end(); ++i) {
		//回溯删除旋转方向相反的向量，使用外积判断旋转方向
		for (PTARRAY::iterator iLast = i - 1; iLast != vecSrc.begin();) {
			int v1 = i->x * iLast->y, v2 = i->y * iLast->x;
			//如果叉积小于0，则无没有逆向旋转
			//如果叉积等于0，还需判断方向是否相逆
			if (v1 < v2 || (v1 == v2 && i->x * iLast->x > 0 &&
				i->y * iLast->y > 0)) {
					break;
			}
			//删除前一个向量后，需更新当前向量，与前面的向量首尾相连
			//向量三角形计算公式
			i->x += iLast->x, i->y += iLast->y;
			iLast = (i = vecSrc.erase(iLast)) - 1;
		}
	}
	//将所有首尾相连的向量依次累加，换算成坐标
	vecSrc.front().x += ptBase.x, vecSrc.front().y += ptBase.y;
	for (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin() + 1; i != vecSrc.end(); ++i) {
		i->x += (i - 1)->x, i->y += (i - 1)->y;
	}
	//添加基点，全部的凸包计算完成
	vecSrc.push_back(ptBase);
}

int main(void) {
	int nPtCnt = 100; //生成的随机点数
	PTARRAY vecSrc, vecCH;
	for (int i = 0; i < nPtCnt; ++i) {
		POINT ptIn = { rand() % 20, rand() % 20 };
		vecSrc.push_back(ptIn);
		cout << ptIn.x << ", " << ptIn.y << endl;
	}
	CalcConvexHull(vecSrc);
	cout << "\nConvex Hull:\n";
	for (PTARRAY::iterator i = vecSrc.begin(); i != vecSrc.end(); ++i) {
		cout << i->x << ", " << i->y << endl;
	}
	return 0;
}