概率公式总结

概率公式总结

我们定义形如(F(x) (xin[0,1]))且(F(1) = 1)，(F)为递增函数的函数为概率函数。

其中(F(x))的定义是当(t)小于(x)时的概率。

公式

$ ext{令}mathrm T(x){为概率函数，}mathrm G(x,y) ext{为在}y ext{限制为x时的概率（一个变量），那么} $

(mathrm F(x) = int_0^xmathrm T'(t)mathrm G(x,t)mathrm d t ext{为满足条件时的概率函数。}(x in [0,1]))

$ ext{假定} T(1) = 1.$

例一

解答

不妨令T(_a(x))表示在a个点的情况下，角度小于x的概率。这里采用度数(=2xpi) 的换算，也就是说，$ x in [0,1] $。

显然，(mathrm{T}_a(1) = 1)。

(mathrm{T}_2(x) = 2x[x in [0,0.5]])

(mathrm{T}_3(x)) = (xmathrm{T}_2(x) + int_0^x mathrm{T}'_2(t) (x-t) mathrm d t (x in [0,0.5]))
= (3x^2 (x in [0,0.5]))

(mathrm{T}_4(x)) = (xmathrm{T}_3(x) + int_0^x mathrm{T}'_3(t) (x - t) mathrm d t (x in [0,0.5]))
= (4x^3 (x in [0,0.5]))

所以，(mathrm{T}_4(0.5) = 1/2)。

Q. E. D.

Ex. 更特别地，观察$mathrm{T}_2(x) = 2x,mathrm{T}_3(x) = 3x^2,mathrm{T}_0(x) = 4x^3 $, 容易猜想 (mathrm{T}_n(x) = nx^{n-1})

$mathrm{T}_2(x) = 2x^{2-1}, $

(mathrm{T}_n(x) = xmathrm{T}_{n-1}(x) + int_0^x mathrm{T}'_{n-1}(t) (x-t) mathrm d t)

(color{white}{mathrm{T}_n(x)}color{black} = (n-1)x^{n-1} + int_0^x (n-1)(n-2)t^{n-3}(x-t) mathrm d t)

(color{white}{mathrm{T}_n(x)}color{black} = (n-1)x^{n-1} + (n-1)(n-2) int_0^x xt^{n-3} -t^{n-2} mathrm d t)

$ color{white}{mathrm{T}_n(x)}color{black}=n x ^{n-1}$

例二

​ 给出(x_1,x_2 in [0,1])的随机变量，求出(frac{x_1+x_2}{2} < p(pin[0,0.5]))的概率。

解答

[mathrm T(x) = x \mathrm G(x,y) = 2x - y \Rightarrow mathrm F(x) = int_0^{2x} mathrm T'(t)mathrm G(x,t) mathrm d t \ = int_0^{2x} 2x - t mathrm d t \ = (2xt-1/2t^2)|_{t=2x} - (2xt-1/2t^2)|_{t=0} \ = 2x^2 ]

显然这个算法可以推至 (n) 个随机变量的情况。

例三

​ 给出(x_1,x_2 in [0,1])的随机变量，求出(x_1x_2 < p(pin[0,1]))的概率。

解答

[mathrm T(x) = x \mathrm G(x,y) = min (x/y,1) \Rightarrow mathrm F(x) = int_0^{1} mathrm T'(t)mathrm G(x,t) mathrm d t \ = int_x^{1} x/t mathrm d t + int_0^x1mathrm d t\ = (xln t)|_{t=1} - (xln t)|_{t=x} + x \ = -xln x + x ]