整除及判定：
整除：如果a能被c整除，b也能被c整除那么，a+b，a-b都能被c整除。
末三位可被8整除的数能被8整除如1064,3240.
各位数字之和能被9整除可被9整除，如441,5346.判断各位数字相加的时候3和9比较特殊，可以作为判断的一句。
熟记100以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43，47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97.
判断有多少个约数：是每个质数的质数加1，相乘。
分解质数，可以找到它的所有约数，例如144=2^m+3^n，m和n的取值不同可以的到不同的值。2种的重量相等，至少分成多少份啊。可以看出是求最大公约数。
最小公倍数*最大公约数=两数的乘积。
比例：
若a，b是整数，a/b=m/n，且m/n是最简分数（不能再约分简化），则a是m的整数倍，b是n的整数倍。
在某些数学运算中，已知两个量之比为m/n，则可以设这两个量分别为mx，nx，列方程求解。或者认为两个量分别是m份，n份，然后去求每一份的值，最后得出两个量的值。
连比的运用：甲乙两数之比为3:4，乙丙两数之比为5:7，甲乙丙的三连比为：第一个占4份，第二个占5份，最小公倍数为20，所以15:20:28
平方数列求和 Sn=1^2+2^2+3^2+4^2+……+n^2=1/6*n*(n+1)*(2n+1)
立方数列求和 Sn=1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=[1/2*n*(n+1)]^2
n条直线最多可以将平面划分成1+n(n+1)/2个区域。
考虑将一个正方形分割成若干个小正方形（大小可以不同），则除了不能分成2个，不能分成3个，不能分成5个，其他数量都可以完成。
给定一个圆，半径为r，现在要求用若干个半径为r/2的小圆去盖这个大圆，那么最少需要7个小圆。
钟表问题：时针和分针的角速度差为5.5°/分钟。
坏钟问题：核心时期“坏钟时间”和标准时间的比例关系。坏钟每小时比标准时间快n分钟，坏钟/标准时=(60+n)/60,坏钟过了x分钟，标准时过了60x/(60+n)
年龄推算：关键就是年龄差不变。
浓度问题：核心就是研究浓度，溶质，溶液三量的关系。溶质溶解于溶剂通常会有一个浓度上限，超过这个浓度，溶质会析出而不溶解于溶剂，这个浓度的上限成为饱和浓度。
植树问题：在非闭合路线（如直线）上植树时，需要注意两端是否植树，若两端都植树，棵数=总路长÷间距+1；在闭合路线（如圆）上植树时，棵数=总路长÷间距。
数字重合的时候，就是求最小公倍数的问题。
盈亏问题的核心:物资和人数不变，人数=盈亏数差÷分配数差
（1）一次有余（盈），一次不够（亏），可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（2）两次都有余（盈），可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（3）两次都不够（亏），可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数。
（4）一次不够（亏），另一次刚好分完，可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=人数。
（5）一次有余（盈），另一次刚好分完，可用公式：盈÷（两次每人分配数的差）=人数。
路程问题：找出相等的部分，时间，速度，平均速度，路程
相遇问题：相遇路程=速度和*相遇时间
直线多次相遇：从两端相向而行，相遇，然后走到终点，返回，第二次相遇，然后第三次……，第一次相遇总共走了S，第二次相遇3S，第n次相遇两人走的路程为
S总=（2n-1）*S
环线多次相遇：与前面相似，重在弄清相遇路程为多少。在第一次为S，第二次为2S，……第n次相遇时两人所走过的路程为S总=n*S。
追及问题：1.简单追及问题。追及路程=速度差*时间。
甲从A，速度v1，过了一段时间，乙从A，速度V2，V2>V1，出发时甲已经走了S，过了t 时间追上。则S=（v2-v1）*t
环线多次追及：甲乙两人在原型跑道上跑步，沿着同一方向在同一起点同时出发，甲的速度大于乙，出发后，甲立即领先，则当甲第一次追上乙时，甲比乙多跑一圈，第二次追上多跑两圈，第n次追上，多跑n圈，设跑道长为S，甲第n次追上乙时，甲乙跑过的路程分别为S1，S2，则S1-S2=n*S。
实际问题：1.火车问题。火车过桥时，火车完全通过桥面所行使的路程等于桥长与火车自身之和，这和一个人过桥是不同的，我们习惯把一个人看成一个店，火车过桥，火车的长度是不能忽略的。此外，火车错车、火车与人相对运动时，都要考虑火车的长度，这是解决火车问题的关键。
错车的总长度=A车长+B车长（可以将一辆车视为桥）
2.流水问题：产生的原因是船在逆水和顺水中的速度不同。顺水速度=船速+水速。逆水速度=船速-水速。
水速=（顺水-逆水）/2；船速=（顺水+逆水）/2
工程问题：1.基本工程问题。工作量=工作效率*时间。记住之间的比例关系。
多人工作：工作总量=t1*效率1+t2*效率2……+tn*效率n
轮流工作：计算每轮工作的效率（即几个人的效率和，把效率加起来算一轮的，然后用总的量除）
水管问题：可转换为工程问题。进水量，排水量-----工作量。 进水、排水速度---工作效率 进水量（排水量）=（进水速度-排水速度）*时间
牛吃草问题：草在不断生长且生长速度固定不变，牛在不断吃草且每头牛每天吃的草量相同。供不同数量的牛吃，每天消耗草量就不同，需要的时间就不同。
初始草量=（吃草速度1-草生长速度）*时间1；初始草量=（吃草速度2-草生长速度）*时间2；草生长速度=（吃草速度1*时间1-吃草速度2*时间2）÷（时间1-时间2）
初始草量-（吃草速度-草生长速度）*时间
利润问题
成本=支出1+支出2+……支出n
利润率是利润和成本的比值，并用百分数表示。
利润率=利润/成本*100%=（售价-成本）/成本*100%=（售价/成本-1）*100%
排列组合
1.加法原理：分类讨论的思想。
2.乘法原理：分步讨论的思想。有若干步骤，每个步骤存在一定顺序。
1.排列的含义：考虑顺序2.组合含义：不考虑顺序。
解题策略：合理分类、准确分布、先组合后排列，避免漏洞，使结果多算、漏算。
经典方法：1.捆绑法。要求几个元素“相邻”，捆绑起来视为整体参与排列，然后考虑内部情况。
2.插空法。如果要求几个元素“不相邻”，剩余n个元素之间及两端会形成（n+1）个空进行排雷，将不相邻的元素分别插入“空”中即可。
如果所有元素完全相同，即为组合问题，则不需要进行排列，只需要将不相邻的元素插入空中即可
3.插板法。将n个相同的元素分成m组，且每组“至少一个元素”时，可用m-1个挡板插入这n个元素之间形成n-1个空中，将元素分割成m组，此时有C（n-1）(下标)（m-1）（上标）
插板法和插空法的区别在于，插空法有n+1个空可选，插板法有n-1个空可选。
4.归一法。排列问题中有些元素的排列顺序已经固定了，如m个元素中的n个元素相对位置固定，这时候可以先将m个元素进行全排列，由于n个元素的顺序是固定的，所以在n个元素的全排列数中只选择一种即可，即m个元素的全排列数除以n个元素的全排列数，记得到满足条件的全排列数，这种方法叫归一法。
5.分析对立面。直接考虑需要分许多类，十分麻烦，此时若考虑它的对立面往往只有一种情况或两种，求出对立面，然后求出总数，进行相减。
经典问题模型：1.环线排列问题。与直线排列之比，环线上的排列问题没有前后和首尾之分。任取一个元素作为队首，环形排列问题便转换为剩下的n-1个元素的直线排列问题。n个人围成一圈，不同的排列方式有A（n-1）（下标）
（n-1）（上标）=(n-1)！种。（这个理解的关键在于环形的是可以旋转的，旋转可以有n个图形，所以n！/n=（n-1）！）由于不分首尾，第一个坐下去不管做哪，都算第一个，那么只要排剩下的就行了（所以我们只要定一个首就行了）
错位重排：把n个元素的位置重新排列，使每个元素都不在原来位置上的排列问题，称为错装信封问题。这类问题有一个递推公式，记n风信的错位重拍数为Dn，则Dn=（n-1）（Dn-2+Dn-1）。在数学运算中出现的错位重排项一般不超过5，记住Dn的前几项的具体数值可省略计算。D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。
分类事件概率=P1+P2+……Pn；分步事件的概率=p1*p2*p3……pn
n次独立重复试验概率：相同条件下，进行n次重复试验，每次试验中任何一事件的概率不受其他试验的影响，这类试验成为n次独立重复试验，事件发生概率为p，，n次恰好发生k次的概率：Pn（k）=Cn（k）*p^k*(1-P)^(n-k)
条件概率：在b发生的情况下，a发生的概率。P(A|B)=P(AB)/p(B)
容斥问题：当几个计数部分相互包含时，需要将重复计算的部分除掉，这叫容斥问题。
二集合容斥：a∪b=a+b-a∩b
三集合容斥：a∪b∪c=a+b+c-a∩b-a∩c-b∩c+a∩b∩c（圆所覆盖的面积=三圆面积和-重叠一次-2倍重叠两次的）
文氏图最适合描述3个集合的情况。
凡涉及重复计数问题均可对应为文氏图模型来进行分析。
算数平均数与个数之差的平方和最小。
十字交叉法：它与加权平均数有紧密联系。当一组数据x1，x2……xn，出现次数为m1，m2……mn，
加权平均数x=（m1x1+m2x2……+mn*xn）/（m1+m2+……mn）如n=2，x=（m1x1+m2x2）/（m1+m2），则m1/m2=（x-x2)、/(x1-x)
步骤：1.找出各部分的平均数和总平均数2.各部分平均数与总平均数交叉作差3.利用比例关系解答。