CH 2401

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描述

作为惩罚，GY被遣送去帮助某神牛给女生送礼物(GY：貌似是个好差事)但是在GY看到礼物之后，他就不这么认为了。某神牛有N个礼物，且异常沉重，但是GY的力气也异常的大(-_-b)，他一次可以搬动重量和在w(w<=2^31-1)以下的任意多个物品。GY希望一次搬掉尽量重的一些物品，请你告诉他在他的力气范围内一次性能搬动的最大重量是多少。

输入格式

第一行两个整数，分别代表W和N。
以后N行，每行一个正整数表示G[i],G[i]<= 2^31-1。

输出格式

仅一个整数，表示GY在他的力气范围内一次性能搬动的最大重量。

样例输入

20 5
7
5
4
18
1

样例输出

19

数据范围与约定

• 对于20%的数据 N<=26
  对于40%的数据 W<=2^26
  对于100%的数据 N<=45 W<=2^31-1

题解：

如果直接暴搜，时间复杂度 $O(2^N)$ 原地起爆，可以使用折半DFS。

礼物分成两半，前一半 $O(2^{N/2})$ 的暴搜每个礼物选不选，然后把每种方案的重量之和存到数组 $S$ 里，并且排序、去重，以备后用。

再对后一半礼物进行 $O(2^{N/2})$ 暴搜，每种方案得到了重量后，去前面 $S$ 里二分找两个重量和加起来最大，且不超过 $W$ 的那个 $S[i]$。

优化后的时间复杂度是 $O(2^{N/2} cdot log 2^{N/2}) = O(N cdot sqrt{2}^N)$。

原本想用状压，发现应该是被卡了，因为状态转成重量还要凭空再多 $O(N)$ 的复杂度，比较尴尬……以后码代码前得记得先算算复杂度……别拿个假算法死怼半天……

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=50;

int n,x;
ll w,g[maxn];

int tot;
ll S[1<<(maxn>>1)];

void dfs(int p,ll sum)
{
    if(sum>w) return;
    if(p>x)
    {
        S[++tot]=sum;
        return;
    }
    dfs(p+1,sum);
    dfs(p+1,sum+g[p]);
}

ll ans;
ll srch(ll x)
{
    int l=1, r=tot;
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r+1)>>1;
        if(S[mid]<=x) l=mid;
        else r=mid-1;
    }
    return S[l];
}
void dfs2(int p,ll sum)
{
    if(sum>w) return;
    if(p>n)
    {
        ans=max(ans,sum+srch(w-sum));
        return;
    }
    dfs2(p+1,sum);
    dfs2(p+1,sum+g[p]);
}

int main()
{
    cin>>w>>n, x=(n+1)/2;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&g[i]);
    sort(g+1,g+n+1,greater<int>());

    tot=0;
    dfs(1,0LL);
    sort(S+1,S+tot+1);
    tot=unique(S+1,S+tot+1)-(S+1);

    ans=0;
    dfs2(x+1,0LL);
    cout<<ans<<endl;
}