XTU 1260

是2017江苏省赛的第一题，当时在场上没做出来（废话，那个时候又不懂高斯消元怎么写……而且数论也学得一塌糊涂，现在回来补了）

省赛结束之后，题解pdf就出来了，一看题解，嗯……加一行再求逆矩阵从而得到伴随矩阵从而得到答案，emmmmm真是非常通俗易懂呢！

于是在回学校的路上强行回忆上学期学的线性代数，把这题题解的原理想通了，然后到现在把高斯消元法补了，才把这题做出来……

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAXN 205
#define MOD 1000000007
typedef long long ll;
using namespace std;
int n;
ll a[MAXN][2*MAXN],det;//注意矩阵的列数要是MAXN的两倍，因为( A , E ) -> ( E , inv(A) ) 
ll pow(ll a,ll b){//快速幂 
    ll r=1,base=a%MOD;
    while(b){
        if(b&1) r*=base , r%=MOD;
        base*=base;
        base%=MOD;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
ll inv_(ll a){return pow(a,MOD-2);}//求逆元 
void debug()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=2*n;j++) printf("%I64d ",a[i][j]);
        printf("
");
    }
}
int Gauss_eli(int row,int col)
{
    det=1;
    for(int i=1;i<=row;i++)//a[i][i] 
    {
        int tmp;
        for(tmp=i;tmp<=n;tmp++) if(a[tmp][i]) break;
        if(tmp!=i) det*=-1;//行列式交换两行要取负
        for(int j=1;j<=col;j++) swap(a[tmp][j],a[i][j]);//交换两行
        det=(det*a[i][i]%MOD + MOD)%MOD;
        ll inv=inv_(a[i][i]);//求得逆元 
        for(int j=1;j<=col;j++) a[i][j]=a[i][j]*inv%MOD; 
        for(int r=1;r<=row;r++)
        {
            if(r==i) continue;
            ll mult=a[r][i];
            for(int c=1;c<=col;c++) a[r][c]=(a[r][c] - a[i][c]*mult%MOD + MOD)%MOD;//消元 
        }
        //debug(); printf("det = %I64d
",det);
    }
}
int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    //freopen("output1.txt","w",stdout);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++) a[1][j]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lld",&a[i][j]);
        for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=n+1;j<=2*n;j++) a[i][j]=(i==(j-n));
        Gauss_eli(n,2*n);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i!=1) printf(" ");
            if(i%2==0) a[i][n+1]=(MOD - a[i][n+1])%MOD;
            printf("%I64d",(a[i][n+1]*det + MOD)%MOD);
        }
        printf("
");
    }
}

可以说是学到了，对高斯消元、逆元、取模等一系列问题有了更深的认识吧。

关于快速幂：

a^b，把b个a进行两两分组，比如：a*a*a*a*a*a  =>  (a*a)*(a*a)*(a*a)

这样变的好处是，你只需要计算一次a*a，然后将结果(a*a)连乘自己两次就能得到a^6，即(a*a)^3=a^6。算一下发现这次一共乘了3次，少于原来的5次。

核心代码是：

while(n)
{
    if(n&1) res=res*a;
    n>>=1;
    a=a*a;
}

完整版是：

ll fpow(ll a,ll b){//快速幂
    ll r=1,base=a%MOD;
    while(b){
        if(b&1) r*=base , r%=MOD;
        base*=base;
        base%=MOD;
        b>>=1;
    }
    return r;
}
ll fpow(ll a,ll i){//递归版快速幂
　　if (i==0) return 1;
　　int temp=pow(a,i>>1);
　　temp=temp*temp%MOD;
　　if (i&1) temp=(ll)temp*a%MOD;
　　return temp%MOD;
}

另附一个数据生成器，以后应该经常用得到……

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
int get_rand(int m,int n)//[m,n] 
{
    return( rand()%(n - m + 1) + m );
}
int main()
{
    freopen("input.txt","w",stdout);
    srand(time(NULL)); 
    int n=get_rand(1,200);
    printf("%d
",n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=n;j++) printf("%d ",get_rand(0,1000000009));
        printf("
");
    }
}