树状数组进阶

目录：

① 单点修改、区间查询 树状数组

　　原理

② 区间查询、单点修改 树状数组

③ 区间查询、区间修改 树状数组

④ 二维树状数组

　　单点修改、区间查询 二维树状数组

　　区间修改、单点查询 二维树状数组

　　区间修改、区间查询 二维树状数组

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①单点修改、区间查询BIT：

首先当然是最基础的树状数组了，单点修改、区间查询的树状数组代码：

//BIT - 单点增加，区间查询 - st
struct _BIT{
    int N,C[MAXN];
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void init(int n) //初始化共有n个点
    {
        N=n;
        for(int i=1;i<=N;i++) C[i]=0;
    }
    void add(int pos,int val) //在pos点加上val
    {
        while(pos<=N)
        {
            C[pos]+=val;
            pos+=lowbit(pos);
        }
    }
    int ask(int pos) //查询1~pos点的和
    {
        int ret=0;
        while(pos>0)
        {
            ret+=C[pos];
            pos-=lowbit(pos);
        }
        return ret;
    }
}BIT;
//BIT - 单点增加，区间查询 - ed 

原理：

假设我们现在要维护的是a数组，我们实际存储的是c数组，他们两者的关系如图：

　　　　（称a数组为原数组，而c数组是a数组的树状数组。）

有：

C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8

c[i]不再是简单的存储a[i]，而是存储了a[i]+a[i-1]+…+a[k]，它存储了从a[i]往前若干个元素的和，那么如何确定k呢？这就关系到lowbit函数……

lowbit(x)函数返回的是什么？先看下图：

不难看出，lowbit(x)返回的是：若二进制下数字 $x$ 的尾部的零的个数为 k ，则lowbit(x) = ${2^k }$；

也就是说，c数组中，

　　若i为奇数，$cleft[ i ight] = aleft[ i ight]$；

　　若i为偶数，而其最多能整除k次2，$cleft[ i ight] = aleft[ i ight] + aleft[ {i - 1} ight] + cdots + aleft[ {i - 2^k + 1} ight]$；

这样一来，对于某个pos点的增加$x$，只要不断令pos+=lowbit(pos)，就相当于一直往父亲节点走，所以我们在每个父亲节点都要增加$x$。

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②区间修改、单点查询BIT：

其实这个的原理就是：通过差分把这个区间修改、单点查询的问题转化为①；

首先，假设我们要记录的数组是$aleft[ {1:n} ight]$，那么我们假设有$dleft[ i ight] = aleft[ i ight] - aleft[ {i - 1} ight]$，且$dleft[ 1 ight] = aleft[ 1 ight]$，

显然，就有$aleft[ i ight] = dleft[ 1 ight] + dleft[ 2 ight] + cdots + dleft[ i ight]$，

我们在BIT中实际存储的是数组$dleft[ {1:n} ight]$（准确的说是d数组的树状数组）；

先说修改：

　　我们目标是给$aleft[ {L:R} ight]$全部加上$x$，那么我们不难发现，其实$dleft[ L+1 ight] , dleft[ L+2 ight] , cdots , dleft[ R ight]$都没有变化，

　　而变化的只有：$dleft[ {L} ight]$增加了$x$，$dleft[ {R + 1} ight]$减少了$x$；

　　所以只需要add(L,x),add(R+1,-x)即可。

再说查询：

　　我们要单点查询$aleft[ {pos} ight]$，由上可知$aleft[ {pos} ight] = dleft[ 1 ight] + dleft[ 2 ight] + cdots + dleft[ {pos} ight]$，

　　那么原来的sum(pos)函数不用修改，就正好能返回$aleft[ {pos} ight]$的值。

代码：

//BIT - 区间修改，单点查询 - st
struct _BIT{
    int N,C[MAXN];
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void init(int n) //初始化共有n个点
    {
        N=n;
        for(int i=1;i<=N;i++) C[i]=0;
    }
    void add(int pos,int val)
    {
        while(pos<=N) C[pos]+=val,pos+=lowbit(pos);
    }
    void range_add(int l,int r,int x) //区间[l,r]加x
    {
        add(l,x);
        add(r+1,-x);
    }
    int ask(int pos) //查询pos点的值
    {
        int ret=0;
        while(pos>0)
        {
            ret+=C[pos];
            pos-=lowbit(pos);
        }
        return ret;
    }
}BIT;
//BIT - 区间修改，单点查询 - ed

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③区间修改，区间查询BIT：

这个就很骚气了，这样的BIT可以很轻松地应付线段树模板题。

我们看到，由于我们目标记录的是数组$aleft[ {1:n} ight]$，而实际存储的是$dleft[ {1:n} ight]$，

那么已经实现了区间修改，如何完成区间查询呢？显然，区间查询的基础是快速求数组$aleft[ {1:n} ight]$的前缀和，

显然数组$aleft[ {1:n} ight]$的前缀和：

　　$aleft[ 1 ight] + aleft[ 2 ight] + cdots + aleft[ i ight] = dleft[ 1 ight] imes i + dleft[ 2 ight] imes left( {i - 1} ight) + cdots + dleft[ i ight] imes 1$

不难发现右侧可以化成：

　　$egin{array}{l}
dleft[ 1 ight] imes i + dleft[ 2 ight] imes left( {i - 1} ight) + cdots + dleft[ i ight] imes 1 \
= left[ {dleft[ 1 ight] imes left( {i + 1} ight) + dleft[ 2 ight] imes left( {i + 1} ight) + cdots + dleft[ i ight] imes left( {i + 1} ight)} ight] - left[ {dleft[ 1 ight] imes 1 + dleft[ 2 ight] imes 2 + cdots + dleft[ i ight] imes i} ight] \
= left( {i + 1} ight) imes left( {dleft[ 1 ight] + dleft[ 2 ight] + cdots + dleft[ i ight]} ight) - left( {dleft[ 1 ight] imes 1 + dleft[ 2 ight] imes 2 + cdots + dleft[ i ight] imes i} ight) \
end{array}$

这样一来，我们就可以想到，在原来的数组$Cleft[ i ight]$记录$dleft[ i ight]$的基础上，

再搞一个数组$C2left[ i ight]$记录$dleft[ i ight] imes i$即可。（当然，实际写代码的时候要明确，C数组和C2数组都是树状数组，不是原数组）

代码：

//BIT - 区间修改，区间查询 - st
struct _BIT{
    int N;
    ll C[MAXN],C2[MAXN]; //分别记录d[i]和d[i]*i
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void init(int n) //初始化共有n个点
    {
        N=n;
        memset(C,0,sizeof(C));
        memset(C2,0,sizeof(C2));
    }
    void add(int pos,ll val)
    {
        for(int i=pos;i<=N;i+=lowbit(i)) C[i]+=val,C2[i]+=val*pos;
    }
    void range_add(int l,int r,ll x) //区间[l,r]加上x
    {
        add(l,x);
        add(r+1,-x);
    }
    ll ask(int pos)
    {
        ll ret=0;
        for(int i=pos;i>0;i-=lowbit(i)) ret+=(pos+1)*C[i]-C2[i];
        return ret;
    }
    ll range_ask(int l,int r) //查询区间[l,r]的和
    {
        return ask(r)-ask(l-1);
    }
}BIT;
//BIT - 区间修改，区间查询 - ed

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④二维树状数组：

　　在一维树状数组中，数组C[x]记录了的是右端点为x、长度为lowbit(x)的区间的区间和（具体参见原理）。

　　那么我们也可以类似地定义C[x][y]记录的是右下角为(x,y)，高为 lowbit(x)，宽为 lowbit(y) 的区间的区间和。

　　这就是二维树状数组最基本的原理。

④-①单点修改、区间查询 二维树状数组：

对于一维的树状数组稍加修改，就能得到：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1005;
const int maxm=1005;

struct BIT_2D
{
    int n,m;
    ll C[maxn][maxm];
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void init(int n,int m) //初始化n行m列矩阵
    {
        this->n=n;
        this->m=m;
        memset(C,0,sizeof(C));
    }
    void add(int x,int y,ll val) //在点(x,y)加上val
    {
        for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
            for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j)) C[i][j]+=val;
    }
    ll ask(int x,int y) //求左上角为(1,1)右下角为(x,y)的矩阵和
    {
        ll ret=0;
        for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
            for(int j=y;j>0;j-=lowbit(j)) ret+=C[i][j];
        return ret;
    }
}BIT;

int main()
{
    int n=10,m=10;
    BIT.init(n,m);

    BIT.add(1,1,2);
    BIT.add(3,6,7);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++) cout<<BIT.ask(i,j)<<"	";
        cout<<endl;
    }
}

④-②区间修改、单点查询 二维树状数组：

和之前的一维树状数组一样，仿照②区间查询、单点修改树状数组的操作，同样用差分的方法，将本问题转化为④-①，

由于数组$aleft[ i ight]left[ j ight]$的前缀和有这样的公式：

　　$sumleft[ i ight]left[ j ight] = left( {sumleft[ {i - 1} ight]left[ j ight] + sumleft[ i ight]left[ {j - 1} ight] - sumleft[ {i - 1} ight]left[ {j - 1} ight]} ight) + aleft[ i ight]left[ j ight]$

套用求前缀和的形式，假设差分数组为$dleft[ i ight]left[ j ight]$，可以有：

　　$aleft[ i ight]left[ j ight] = left( {aleft[ {i - 1} ight]left[ j ight] + aleft[ i ight]left[ {j - 1} ight] - aleft[ {i - 1} ight]left[ {j - 1} ight]} ight) + dleft[ i ight]left[ j ight]$

就能得到：

　　$dleft[ i ight]left[ j ight] = aleft[ i ight]left[ j ight] - left( {aleft[ {i - 1} ight]left[ j ight] + aleft[ i ight]left[ {j - 1} ight] - aleft[ {i - 1} ight]left[ {j - 1} ight]} ight)$

那么，同样先说修改：

　　目标是给$left( {x_1 ,y_1 } ight)$到$left( {x_2 ,y_2 } ight)$的矩阵全部加上$x$，不难发现，差分数组变动的只有四个点：

　　$dleft[ {x_1 } ight]left[ {y_1 } ight] + = x;,;dleft[ {x_1 } ight]left[ {y_2 + 1} ight] - = x;,;dleft[ {x_2 + 1} ight]left[ {y_1 } ight] - = x;,;dleft[ {x_2 + 1} ight]left[ {y_2 + 1} ight] + = x$

　　这个可以自己举个栗子验证一下。

再说查询：

　　同一维树状数组一样，求左上角为$left( {1,1} ight)$右下角为$left( {x,y} ight)$的矩阵和就是d[x][y]的前缀和，正好就是要查询的a[x][y]。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1005;
const int maxm=1005;

struct BIT_2D
{
    int n,m;
    ll C[maxn][maxm];
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void init(int n,int m) //初始化n行m列矩阵
    {
        this->n=n;
        this->m=m;
        memset(C,0,sizeof(C));
    }
    void add(int x,int y,ll val)
    {
        for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
            for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j)) C[i][j]+=val;
    }
    void range_add(int x1,int y1,int x2,int y2,ll x) //左上角为(x1,y1)右下角为(x2,y2)的矩阵全部加上x
    {
        add(x1,y1,x);
        add(x1,y2+1,-x);
        add(x2+1,y1,-x);
        add(x2+1,y2+1,x);
    }
    ll ask(int x,int y) //查询点(x,y)的值
    {
        ll ret=0;
        for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
            for(int j=y;j>0;j-=lowbit(j)) ret+=C[i][j];
        return ret;
    }
}BIT;

int main()
{
    int n=10,m=10;
    BIT.init(n,m);

    BIT.range_add(2,2,4,4,1);
    BIT.range_add(5,6,8,8,2);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++) cout<<BIT.ask(i,j)<<"	";
        cout<<endl;
    }
}

④-②区间修改、区间查询 二维树状数组：

又到了最亦可赛艇的部分了！依然仿照③区间查询、区间修改 树状数组的操作。

首先$sumleft[ i ight]left[ j ight] = sumlimits_{x = 1}^i {sumlimits_{y = 1}^j {aleft[ x ight]left[ y ight]} } $，

又由于$aleft[ x ight]left[ y ight]{ m{ = }}sumlimits_{u = 1}^x {sumlimits_{v = 1}^y {dleft[ u ight]left[ v ight]} } $，

所以有：

　　$sumleft[ i ight]left[ j ight] = sumlimits_{x = 1}^i {sumlimits_{y = 1}^j {left( {sumlimits_{u = 1}^x {sumlimits_{v = 1}^y {dleft[ u ight]left[ v ight]} } } ight)} } $

可以说是非常复杂了……

但模仿③的操作，我们依然可以统计d[u][v]出现次数：

　　不难想象，从$aleft[ 1 ight]left[ 1 ight]$到$aleft[ i ight]left[ j ight]$，$dleft[ 1 ight]left[ 1 ight]$全部都要出现一次，所以有$i imes j$个$dleft[ 1 ight]left[ 1 ight]$，即$dleft[ 1 ight]left[ 1 ight] imes i imes j$

　　类似的，有$dleft[ 1 ight]left[ 2 ight] imes i imes left( {j - 1} ight);,;dleft[ 2 ight]left[ 1 ight] imes left( {i - 1} ight) imes j;,;dleft[ 2 ight]left[ 2 ight] imes left( {i - 1} ight) imes left( {j - 1} ight)$ 等等等等……

所以我们不难把式子变成：

　　$sumleft[ i ight]left[ j ight] = sumlimits_{x = 1}^i {sumlimits_{y = 1}^j {left[ {dleft[ x ight]left[ y ight] imes left( {i + 1 - x} ight) imes left( {j + 1 - y} ight)} ight]} } $

展开得到：

　　$sumleft[ i ight]left[ j ight] = sumlimits_{x = 1}^i {sumlimits_{y = 1}^j {left[ {dleft[ x ight]left[ y ight] cdot left( {i + 1} ight)left( {j + 1} ight) - dleft[ x ight]left[ y ight] cdot xleft( {j + 1} ight) - dleft[ x ight]left[ y ight] cdot left( {i + 1} ight)y + dleft[ x ight]left[ y ight] cdot xy} ight]} } $

也就相当于把这个式子拆成了四个部分：

　　$egin{array}{l}
left( {i + 1} ight)left( {j + 1} ight) imes sumlimits_{x = 1}^i {sumlimits_{y = 1}^j {dleft[ x ight]left[ y ight]} } \
- left( {j + 1} ight) imes sumlimits_{x = 1}^i {sumlimits_{y = 1}^j {left( {dleft[ x ight]left[ y ight] cdot x} ight)} } \
- left( {i + 1} ight) imes sumlimits_{x = 1}^i {sumlimits_{y = 1}^j {left( {dleft[ x ight]left[ y ight] cdot y} ight)} } \
sumlimits_{x = 1}^i {sumlimits_{y = 1}^j {left( {dleft[ x ight]left[ y ight] cdot xy} ight)} } \
end{array}$

所以我们需要在原来 $C1left[ i ight]left[ j ight]$ 记录 ${dleft[ i ight]left[ j ight]}$ 的基础上，再添加三个树状数组：

　　$C2left[ i ight]left[ j ight]$ 记录 ${dleft[ i ight]left[ j ight] cdot i}$

　　$C3left[ i ight]left[ j ight]$ 记录 ${dleft[ i ight]left[ j ight] cdot j}$

　　$C4left[ i ight]left[ j ight]$ 记录 ${dleft[ i ight]left[ j ight] cdot ij}$

这样一来，就能通过数组$aleft[ i ight]left[ j ight]$的差分数组$dleft[ i ight]left[ j ight]$来得到$aleft[ i ight]left[ j ight]$的前缀和数组$sumleft[ i ight]left[ j ight]$，

最后，易知$left( {x_1 ,y_1 } ight)$到$left( {x_2 ,y_2 } ight)$的矩阵和就等于$sumleft[ {x_2 } ight]left[ {y_2 } ight] - sumleft[ {x_2 } ight]left[ {y_1 - 1} ight] - sumleft[ {x_1 - 1} ight]left[ {y_2 } ight] + sumleft[ {x_1 - 1} ight]left[ {y_1 - 1} ight]$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1005;
const int maxm=1005;

struct BIT_2D
{
    int n,m;
    ll C1[maxn][maxm],C2[maxn][maxm],C3[maxn][maxm],C4[maxn][maxm];
    int lowbit(int x){return x&(-x);}
    void init(int n,int m) //初始化n行m列矩阵
    {
        this->n=n;
        this->m=m;
        memset(C1,0,sizeof(C1));
        memset(C2,0,sizeof(C2));
        memset(C3,0,sizeof(C3));
        memset(C4,0,sizeof(C4));
    }
    void add(int x,int y,ll val)
    {
        for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
        {
            for(int j=y;j<=m;j+=lowbit(j))
            {
                C1[i][j]+=val;
                C2[i][j]+=val*x;
                C3[i][j]+=val*y;
                C4[i][j]+=val*x*y;
            }
        }
    }
    void range_add(int x1,int y1,int x2,int y2,ll x) //左上角为(x1,y1)右下角为(x2,y2)的矩阵全部加上x
    {
        add(x1,y1,x);
        add(x1,y2+1,-x);
        add(x2+1,y1,-x);
        add(x2+1,y2+1,x);
    }
    ll ask(int x,int y) //查询左上角为(1,1)右下角为(x,y)的矩阵和
    {
        ll ret=0;
        for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
        {
            for(int j=y;j>0;j-=lowbit(j))
            {
                ret+=(x+1)*(y+1)*C1[i][j];
                ret-=(y+1)*C2[i][j]+(x+1)*C3[i][j];
                ret+=C4[i][j];
            }
        }
        return ret;
    }
    ll range_ask(int x1,int y1,int x2,int y2) //查询左上角为(x1,y1)右下角为(x2,y2)的矩阵和
    {
        return ask(x2,y2)-ask(x1-1,y2)-ask(x2,y1-1)+ask(x1-1,y1-1);
    }
}BIT;

int main()
{
    int n=10,m=10;
    BIT.init(n,m);

    BIT.range_add(2,2,4,4,1);
    BIT.range_add(5,6,8,8,2);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++) cout<<BIT.range_ask(i,j,i,j)<<"	";
        cout<<endl;
    }
    cout<<BIT.range_ask(2,2,4,4)<<endl;
    cout<<BIT.range_ask(5,6,8,8)<<endl;
    cout<<BIT.range_ask(2,2,8,8)<<endl;
}

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本文主要参考https://www.cnblogs.com/RabbitHu/p/BIT.html