过程选择模型

前段时间看到赵玉平老师讲的关于相亲选择的问题，感觉比较有趣，希望通过概率模拟验证一下该方法的有效性。

原链接如下，感兴趣可先了解原讲解：管理学博士是怎么硬核相亲的，过程太真实了，最后居然选到这么好的“对象”！强烈建议大家学学…… %相亲    https://v.douyin.com/RWQQnC4/

1.问题重述

1.1原问题描述

各位同学是我的媒人，每位同学为赵老师介绍一个男朋友，写下一个数字代表该男生的质量。每次见一个人，单方向不可重复。如决定要则结束，如决定不要则继续。

总结方法：先选4位同学（共12人）进行询问，记住其中的最大值，然后再从其他同学中询问，当得到大于前面所述最大值，则决定要。

1.2数学模型

现将原问题抽象为以下数学过程

1. 随机生成n个数字；
2. 将n个数字依次输入模型中，当决定选择其中某一个数字时（记为第k个，k<n）过程停止；
3. 目标是使选出的数字尽可能大，尽可能在n个数字中排在前列。

策略是：

1. 记n个数字的前a（a<n，a/n=r）个中的最大值为m；
2. 从第a+1个数字开始，若小于等于第a个数则舍弃，若大于第a个数字则选择；
3. 若直到最后一个数仍未出现大于第a个数的，则选择最后一个数。

该过程中存在这样一个问题：即这n个随机数服从什么分布。先假设其服从0到100之间的均分分布。

2.过程实现

设n=100，a=33，模拟如下。

import numpy as np

class choose:
    def __init__(self,nums):
        # nums代表提供的数字集
        self.nums = nums
        self.n=len(nums)
    def get_max(self,a):
        # 从前a个数中选出一个最大的，记为max_num
        self.a = a
        self.max_num = max(self.nums[0:a])
    def decide(self):
        self.flag = 0
        for i in range(self.a,self.n):
            # 如果遇到更大的数则选取
            if self.nums[i]>self.max_num:
                self.choice = self.nums[i]
                self.flag = i
        # 如全程未遇到更大的数则只能选择最后一个
        if self.flag == 0:
            self.choice = self.nums[self.n-1]
    def show(self):
        print('共有%d个数字，其中的最大值是%f，选择的数字是%f，排第%d位' % 
              (self.n, max(self.nums), self.choice, sum(c.nums>c.choice)+1))
        if self.flag == 0:
            print('在后续数字中未找到更大的，故最终在所有数字中选择了最后一个')
        else:
            print('选择了第%d个数字' % (self.flag+1))

n=100
a=33
nums=np.random.uniform(0, 100, size=n)
c=choose(nums)
c.get_max(a)
c.decide()
c.show()

模拟几次，结果如下：

共有100个数字，其中的最大值是96.647844，选择的数字是96.647844，排第1位
选择了第64个数字

共有100个数字，其中的最大值是99.571219，选择的数字是65.277241，排第31位
在后续数字中未找到更大的，故最终在所有数字中选择了最后一个

共有100个数字，其中的最大值是97.931539，选择的数字是41.759912，排第50位
在后续数字中未找到更大的，故最终在所有数字中选择了最后一个

共有100个数字，其中的最大值是99.566610，选择的数字是99.566610，排第1位
选择了第73个数字

共有100个数字，其中的最大值是98.271705，选择的数字是98.271705，排第1位
选择了第82个数字

可以发现，在5次模拟中有3次选到了全局最大，效果不错，但也有两次在后续数字中未找到更大的。

直接进行100000次模拟，观察情况：

choices = []
rank = []
fail = 0
for i in range(0,100000):
    if i%1000==0:
        print(i)
    nums=np.random.uniform(0, 100, size=n)
    c=choose(nums)
    c.get_max(a)
    c.decide()
    choices.append(c.choice)
    rank.append(sum(c.nums>c.choice)+1)
    if c.flag == 0:
        fail += 1

观察选出的数字的分布：

import matplotlib.pyplot as plt
plt.hist(choices,100)

可以看到，大部分落在90~100之间，落在99~100之间的概率为0.28，效果较好，平均值np.mean(choices)=82.01201051783117。

观察选出的数字在原100个数字中的位次的分布：

plt.hist(rank,100)

可以看到，大部分位次落在0~10之间，选到最大值（排第1位）的概率为0.37。平均值np.mean(rank)=18.16273，平均相对位次0.18。

3.敏感性分析

当参数发生变化时，该方法是否仍能有较好的效果。

3.1小样本

现实情况中我们的精力有限，往往没有那么多的选择机会，那么，当n减少时（a/n=r近似不变），会发生什么。

n=50，a=17。进行100000次模拟，平均位次10.10，平均相对位次0.20。

n=10，a=3。进行100000次模拟，平均位次3.03，平均相对位次0.30。

n=5，a=2。进行100000次模拟，平均位次2.2，平均相对位次0.44。

随着n的减小，能够取得的平均相对位次的变化情况如下图。

可见随着n的减小，该方法的效果变差，但由于样本少，该现象情有可原。

3.2策略值r

保持n=100不变，观察r的变化对结果的影响，对r从0.1到0.9取9个值，每个值模拟10000次。

n=100
rs=np.linspace(0.1, 0.9, 9)
m_choices=[]
m_rank=[]
m_fail=[]
for r in rs:
    print(r)
    a=int(round(n*r))
    choices = []
    rank = []
    fail = 0
    for i in range(0,10000):
        nums=np.random.uniform(0, 100, size=n)
        c=choose(nums)
        c.get_max(a)
        c.decide()
        choices.append(c.choice)
        rank.append(sum(c.nums>c.choice)+1)
        if c.flag == 0:
            fail += 1
    
    m_choices.append(np.mean(choices))
    m_rank.append(np.mean(rank))
    m_fail.append(fail)

r对选择结果的影响：

plt.plot(rs,m_choices)

plt.plot(rs,m_fail)

当r较大时，很容易在后续数字中找不到更大的，从而获得较差的最终选择。

n=10，观察r的变化对结果的影响，对r从0.1到0.9取9个值，每个值模拟10000次。

plt.plot(rs,m_choices)

plt.plot(rs,m_fail)

当n较小时，虽然随着r的增大，在后续数字中找不到更大的数字的概率也是近乎线性增大，但是如果a太小则选不到较大的阈值，因此r在0.1到0.9之间存在最优解。

这启示我们，当基数n较大时，r的取值可适当减小，以便获得更优的结果。

4.进一步讨论

可以看到，对于该方法，当在后续数字中找不到更大的数字时，只能被迫选择最后一个数字，导致结果较差。一个后续改进的思路是，当在一段时间内（第a个数字后的一些数字中）未发现更好的时，应适当降低要求。

对于不同的n，存在不同r的最优取值，n越大，r的最优取值越小。

如果原数据服从其他分布规律，如卡方分布，F分布等，则结果可能有不同的表现，可能需要根据不同的分布采取不同的策略。

实际上，回归相亲问题，现实情况远比该数学问题复杂的多，首先每个人有自己的特点，不能被很好地量化打分，即使打分也是各方面表现有不同的分数，其次，n是不可控的，且人的思维都是不断发展变化的，挑选者不可能一成不变地遵循一个死板的策略，被挑选者也不一定在被挑选后即接受。最后，且行且珍惜。