1、问题描述
计算 an
2、算法分析
先将 n 变一变,寻找新的计算路径。预处理就是变治法的根本。
如果单纯循环执行 n 次相乘,那么时间复杂度为 O(n)。可以利用二进制幂大大改进效率。
主要思路是:将十进制的 n 转换成二进制的数组序列 b[]。二进制幂求解有两种方法:从左至右二进制幂和从右至左二进制幂。
从左至右二进制幂
变换:an = a(b[n]2m + ... + b[0]20)
先求 n 的二进制串,如:n = 5 => 1 0 1,那么 b[2] = 1, b[1] = 0, b[0] = 1
二进制求 n 的伪代码:
Horner(b[0...n], x) k = b[n]
for i = n-1 downto 0 do
p = x*k + b[i]
return p那么 n 用作 a 的指数时意义是什么样的呢:
ap = a1
for i = n - 1 downto 0 do
ap = a(2p+b[i])从右至左二进制幂
n 变换方法与上面相同,然后从 b[0] -> b[n] 方向逐步求解。
时间复杂度:O(logn)
3、代码实现
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/**
* @brief 返回 x 的二进制串(数组)
*/
int GetBinArray(int x, int arr[], int length)
{
int idx = 0;
while(x > 0) {
// 获取末位的二进制
arr[idx++] = (x & 1) ? 1 : 0;
if (idx == length)
break;
// 右移两位
x = x >> 1;
}
return idx;
}
/**
* @brief a^n = a^(b[n]2^n + ... + b[0]2^0)= a^(b[n]2^n)* ... * a^b[0]。 b 数组元素不是 1 就是 0
*/
int Pow_Bin_RightToLeft(int number, int power)
{
if (power == 0)
return 1;
int length = sizeof(int) * 8; // 32
int *pint = (int *)malloc(length);
// 获取幂的二进制数组
length = GetBinArray(power, pint, length);
int item = number;
int ret = 1;
for (int i = 0; i < length; i++) {
// 二进制值为 1,计入结果
if (pint[i] == 1)
ret *= item;
item *= item;
}
free(pint);
return ret;
}
/**
* @brief a^n = a^(b[n]2^n + ... + b[0]2^0)=((b[n]*2 + b[n-1])*X + ....)2 + b[0]。 b 数组元素不是 1 就是 0
*/
int Pow_Bin_LeftToRight(int number, int power)
{
if (power == 0)
return 1;
int length = sizeof(int)*8;
int *pint = (int *)malloc(length);
length = GetBinArray(power, pint, length);
int ret = number;
for (int i = length - 1 - 1; i >= 0; i--) {
ret *= ret;
if(pint[i] == 1)
ret *= number;
}
free(pint);
return ret;
}
int main()
{
int num = 8, power = 6;
int ret1 = Pow_Bin_RightToLeft(num, power);
int ret2 = Pow_Bin_LeftToRight(num, power);
printf("Pow_Bin_RightToLeft: %d^%d == %d
", num, power, ret1);
printf("Pow_Bin_LeftToRight: %d^%d == %d
", num, power, ret2);
return 0;
}
Pow_Bin_RightToLeft: 8^6 == 262144
Pow_Bin_LeftToRight: 8^6 == 262144