BZOJ1896 Equations 线性规划+半平面交+三分

题意简述

给你(3)个数组(a_i)，(b_i)和(c_i)，让你维护一个数组(x_i)，共(m)组询问，每次给定两个数(s)，(t)，使得

[sum_i a_i x_i = s qquad sum_i b_i x_i = t ]

让你求出(mathrm{Maximize} sum_i c_i x_i)。

做法

显然题目是一个线性规划的模型，用(x)，(y)表示两个新变量，使用对偶转化可得

[egin{split} &mathrm{Minimize} qquad &sx+ty \ &mathrm{Satisfy} qquad &forall i , a_ix+b_iy geq c_i \ & &x,y in R end{split} ]

发现可以用半平面交维护，所以预处理半平面交，对于(sx+ty)将其转成一条直线，二分/三分找极值即可，复杂度(O((n+m) log n))。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define db double
#define ll long long
#define in inline
#define ak *
in char getch()
{
    static char buf[10000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,10000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
#define gc() getch()
char qwq;
in int read()
{
    re cz=0,ioi=1;qwq=gc();
    while(qwq<'0'||qwq>'9') ioi=qwq=='-'?~ioi+1:1,qwq=gc();
    while(qwq>='0'&&qwq<='9') cz=(cz<<3)+(cz<<1)+(qwq^48),qwq=gc();
    return cz ak ioi;
}
const db inf=1e18,eps=1e-11;
const int N=1e5+5;
int n,m,k,top,tot;
db s,t;
struct poi{
	db x,y;
	poi(db _x=0,db _y=0) {x=_x,y=_y;}
}p[N];
struct line{
	db k,b;
	line(db _k=0,db _b=0) {k=_k,b=_b;}
	in bool operator <(line x) const {return k==x.k?b>x.b:k<x.k;}
	in poi operator &(line x) {return poi((x.b-b)/(k-x.k),(k*x.b-x.k*b)/(k-x.k));} 
}e[N],q[N];
in db calc(re x) {return p[x].x*s+p[x].y*t;}
int main()
{
	n=read();k=read();
	for(re i=1;i<=n;i++) 
	{
		db a=read(),b=read(),c=read();
		e[++m]=line(-a/b,c/b);
	}
	sort(e+1,e+m+1);
	for(re i=1;i<=m;i++)
	{
		if(top&&q[top].k==e[i].k) continue;
		while(top>1&&(q[top]&q[top-1]).y<=(q[top]&q[top-1]).x*e[i].k+e[i].b) top--;
		q[++top]=e[i];
	}
	for(re i=1;i<top;i++) p[++tot]=q[i]&q[i+1];
	for(re i=1;i<=k;i++)
	{
		s=read(),t=read();
		if(-s/t>q[top].k||-s/t<q[1].k) puts("IMPOSSIBLE");
		else
		{
			db res=inf;re l=1,r=tot;
			while(l<=r)
			{
				re ml=l+(r-l)/3,mr=r-(r-l)/3;
				db cl=calc(ml),cr=calc(mr);
				if(cl<cr) r=mr-1,res=cr;
				else l=ml+1,res=cl; 
			}
			printf("%.5lf
",res);
		} 
	}
}