题目大意:求[a,b]之间内的莫比乌斯函数μ之和。($a,b<=10^{10}$)
思路:令$ M(n)=sum_{i=1}^{n}mu (i) $,题目所求即为$ M(b)-M(a-1) $。
由于$ sum_{d|n} mu (d)=left [ n=1 ight ] $ ,所以$ sum_{i=1}^{n} sum_{d|i} mu (d)=1 $
令$ i=kd $,则有$ sum_{i=1}^{n} sum_{d|i} mu (d)= sum_{k=1}^{n} sum_{d=1}^{left lfloor n/k ight floor} mu (d) = sum_{k=1}^{n} M(left lfloor n/k ight floor) =1 $
那么$ M(n)=1-sum_{i=2}^{n} M(left lfloor n/i ight floor) $
由于$ left lfloor n/i ight floor $的取值只有$ O(sqrt{n}) $种,预处理出前$ n^{frac{2}{3}} $的$ M(n) $,然后记忆化搜索,可以证明总时间复杂度为$ O(n^{frac{2}{3}}) $(这个好像被叫做杜教筛)。
#include<iostream> using namespace std; #define ll long long #define MN 6000000 #define MP 413000 #define MOD 5999993 struct edge{int u;ll x;edge*nx;}*h[MOD]; int u[MN+5],p[MP+5],pn; bool f[MN+5]; int cal(ll x) { if(x<=MN)return u[x]; for(edge*i=h[x%MOD];i;i=i->nx)if(i->x==x)return i->u; edge*np=new edge;*np=(edge){1,x,h[x%MOD]};h[x%MOD]=np; for(ll i=2,ls;i<=x;i=ls+1)ls=x/(x/i),np->u-=(ls-i+1)*cal(x/i); return np->u; } int main() { ll a,b;int i,j; cin>>a>>b; for(u[1]=1,i=2;i<=MN;++i) { if(!f[i])p[++pn]=i,u[i]=-1; for(j=1;i*p[j]<=MN&&(f[i*p[j]]=1);++j) if(i%p[j])u[i*p[j]]=-u[i];else break; u[i]+=u[i-1]; } cout<<cal(b)-cal(a-1); }