[Educational Codeforces Round 7]F. The Sum of the k-th Powers

FallDream dalao找的插值练习题

题目大意：给定n,k，求Σi^k (i=1~n)，对1e9+7取模。（n<=10^9，k<=10^6）

思路：令f(n)=Σi^k (i=1~n)，则有f(n)-f(n-1)=n^k，说明f(n)的差分是n的k次多项式，则所求f(n)为n的k+1次多项式，利用拉格朗日插值公式，我们暴力计算n=0~k+1时的答案，代入公式，利用预处理的信息加速计算，总复杂度O(klogMOD)。

#include<cstdio>
#define MOD 1000000007
int pw(int x,int y)
{
    int r=1;
    for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%MOD)if(y&1)r=1LL*r*x%MOD;
    return r;
}
#define MK 1000000
int z[MK+5];
inline int mod(int a){return a>=MOD?a-MOD:a;}
int main()
{
    int n,k,i,ans=0,s0=1,s1=1;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for(i=0;i++<=k;)z[i]=mod(z[i-1]+pw(i,k));
    if(n<=++k)return printf("%d",z[n]),0;
    for(i=0;i<=k;++i)s0=1LL*s0*(n-i)%MOD;
    for(i=1;i<=k;++i)s1=1LL*s1*(MOD-i)%MOD;
    for(i=0;i<=k;++i)
        ans=(ans+1LL*z[i]*s0%MOD*pw(n-i,MOD-2)%MOD*pw(s1,MOD-2))%MOD,
        s1=1LL*s1*pw(MOD-k+i,MOD-2)%MOD*(i+1)%MOD;
    printf("%d",ans);
}

附：

拉格朗日插值公式：，

牛顿插值公式：