[矩阵乘法特征多项式优化]黄金

题目大意：第一年要交a0克黄金，接下来f1年每年交比前一年多一克的黄金，再接下来f2年每年交前一年两倍的黄金，之后每年都交最近K年交的黄金乘积数量的黄金，问第n年要交多少黄金，答案对1e8+7取模，多组数据。（1<=a0,f1,f2<=50，1<=K<=f1+f2+1，1<=N<=10^9，数据组数<=10）

思路：前f1+f2+1年暴力计算，剩下的每一年交的黄金都可以表示为第f1+f2+2-K到f1+f2+1年各年交的黄金的次幂的乘积，我们用矩阵记录下每一年交的黄金分解这K年的乘积后每一年的次数，数字相乘即为矩阵相加，即可用线性递推关系来表示，可以用矩阵快速幂在O(K^3logN)时间内完成计算，由于多组数据这个复杂度并不能通过，可以使用矩阵特征多项式优化到O(K^2logN)。矩阵特征多项式优化简单来说主要是这样的：例如有数列满足fn=fn-1+fn-2+…+fn-k，那么它的递推矩阵根据相关定理也满足A^n=A^(n-1)+A^(n-2)+…+A^(n-k)，这样A的次幂都可以用A^1、A^2…A^k的线性组合来表示，我们就可以用关于A的k次多项式表示一个矩阵，矩阵相乘相当于这个多项式相乘，得到的A^(k+1)到A^2k项再重新表示为A^1、A^2…A^k，我们就能O(K^2)完成这个矩阵的乘法运算，再用快速幂就能把总时间优化到O(K^2logN)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MN 100
#define MOD 100000007
int a[MN+5],k,t[MN*2+5];
struct pol
{
    int z[MN+5];
    pol(){memset(z,0,sizeof(z));}
    pol operator*(pol b)
    {
        int i,j;pol c;
        memset(t,0,sizeof(t));
        for(i=1;i<=k;++i)for(j=1;j<=k;++j)
            t[i+j]=(t[i+j]+1LL*z[i]*b.z[j])%(MOD-1);
        for(i=k<<1;i>k;--i)for(j=1;j<=k;++j)
            t[i-j]=(t[i-j]+t[i])%(MOD-1);
        for(i=1;i<=k;++i)c.z[i]=t[i];
        return c;
    }
};
int pw(int x,int y)
{
    int r=1;
    for(;y;y>>=1,x=1LL*x*x%MOD)if(y&1)r=1LL*r*x%MOD;
    return r;
}
int main()
{
    int T,n,f1,f2,i,x;
    for(scanf("%d",&T);T--;)
    {
        scanf("%d%d%d%d%d",&a[0],&f1,&f2,&k,&n);
        for(i=1;i<=f1;++i)a[i]=a[i-1]+1;
        for(i=1;i<=f2;++i)a[f1+i]=(a[f1+i-1]<<1)%MOD;
        if(--n<=f1+f2){printf("%d
",a[n]);continue;}
        pol p,t;p.z[1]=t.z[1]=1;
        for(n-=f1+f2-k+1;n;n>>=1,t=t*t)if(n&1)p=p*t;
        for(i=x=1;i<=k;++i)x=1LL*x*pw(a[f1+f2-k+i],p.z[i])%MOD;
        printf("%d
",x);
    }
}