【2020-8-21】【数字游戏】【启发式搜索IDA*】

有这么一个游戏： 
　　写出一个1～N的排列a[i]，然后每次将相邻两个数相加，构成新的序列，再对新序列进行这样的操作，显然每次构成的序列都比上一次的序列长度少1，直到只剩下一个数字位置。下面是一个例子： 
　　3　　1　　2　　4 
　　　4　　3　　6 
　　　　7　　9 
　　　　　16 
最后得到16这样一个数字。 
　　现在想要倒着玩这样一个游戏，如果知道N，知道最后得到的数字的大小sum，请你求出最初序列a[i]，为1～N的一个排列。若答案有多种可能，则输出字典序最小的那一个。 (n<12)

  

首先我们通过手算及暴力程序应该可以发现 

设 sum 为最后一行的值

总共有 1 行 则 sum=a1*1

总共有 2 行 则 sum=a1*1+a2*1

总共有 3 行 则 sum=a1*1+a2*2+a3*1

总共有 4 行 则 sum=a1*1+a2*3+a3*3+a4*1

不难发现sum等于二项式定理中的系数乘上第n个数

所以对于这题我们只需要先预处理出二项式定理的系数 再对1~n进行dfs排列 适当加上一个剪枝就能AC

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long a[13],n,m,sum,b[13],last_num[13];
bool k[13],p;
void dfs(long long now,long long num,long long now_num)//当前位置 到当前位置的总和 当前位置的数值 
{
    if(p)//取到解就不必再继续dfs 
    return ; 
    if(now==n)
    {
    if(num==m)
    {
     for(long long i=1;i<=n;i++)
    printf("%lld ",a[i]);
    p=1;
    return ;
    }
    else
    {
        k[now_num]=0;
        return ;
    }
    }

    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!k[i])
        {
            if(num+i*b[now+1]>m)//一个小剪枝 如果总和大于所要的解则不再扩展 
            {
                k[now_num]=0;
                return;
            }
            else
            {
                k[i]=1;
                a[now+1]=i;
                dfs(now+1,num+i*b[now+1],i);
                k[i]=0;//根据函数定义的回溯法求排列 
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
    b[i]=1;
    for(long long j=i-1;j>=1;j--)
    b[j]+=b[j-1];
    }
    for(long long i=n;i>=1;i--)
    {
       last_num[i]=b[i]+last_num[i+1];    
    } 
    dfs(0,0,0);
}

对于原题中的n<12 我们的总和超过m就剪枝的做法是完全可以的

但教练提了一个n<20 的问题 这时一个剪枝就显得不足了（只能拿20分）

我们可以用IDA*的算法

即在dfs扩展时计算未来可能的代价 如果代价超出能忍受的范围则剪枝

我们考虑下面三个剪枝

剪枝一：
计算当前的“累加和”，若超出Sum，则没必要继续搜索

剪枝二：
计算当前的“累加和”+“未来的最小累加和”，若超出Sum，则没必要继续搜索

剪枝三：
计算当前的“累加和”+“未来的最大累加和”，若小于Sum，则没必要继续搜索

其中剪枝 二 三 就是对未来的一个估价函数 

#pragma GCC optimize(2)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long a[21],n,m,sum,b[21],sort_num[21],pai[21],minm,maxm;
bool k[21],p,c;
void yugu(long long now)
{
    pai[0]=0;
    sort_num[0]=0;
    maxm=0;
    minm=0;
    for(long long i=n/2+1;i>=now;i--)
    pai[++pai[0]]=b[i];
    for(long long i=n/2+2;i<=n;i++)
    pai[++pai[0]]=b[i];   
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!k[i])
        sort_num[++sort_num[0]]=i;
    }
        for(long long i=1;i<=sort_num[0];i++)
    {
        minm+=sort_num[i]*pai[i];
        maxm+=sort_num[i]*pai[sort_num[0]-i+1];
    }    
}
void dfs(long long now,long long num)
{

    if(c)
    return ;
    if(num>m)
    return ;
    yugu(now+1);//进行预估代价
    if(num+maxm<m||num+minm>m)//判断是否可行剪枝
    return ; 
    if(now==n)
    {
    if(num==m)
    {
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    printf("%lld ",a[i]);
    c=1;
    return ;
    }
    else
    return ;
    }
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
        
        if(!c)
        if(!k[i])
        {        
           if(num+i*b[now+1]>m)
           continue;
           else
           {
                   k[i]=1;
                a[now+1]=i;
                dfs(now+1,num+i*b[now+1]);
                k[i]=0;
           }
        }
    }
}
int main()
{
//    freopen("szyx.in","r",stdin);
//    freopen("szyx.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(long long i=1;i<=n;i++)
    {
    b[i]=1;
    for(long long j=i-1;j>=1;j--)
    b[j]+=b[j-1];
    }
    dfs(0,0);
    return 0;
}