扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}

　应用：求满足ax+by=gcd(a,b)的最小整数x。

　　r=exgcd(a,b,x,y);l=b/r;

　　x=(x%l+l)%l;

POJ 1061

　　两只青蛙跳一次所花费的时间相同，我们设其为t，则x+mt是青蛙A从坐标原点到终点所走的距离，y+nt是B走的距离，要想碰面，则他们相减一定是地面周长的整数倍，设为k*l；则：(x+mt)-(y+nt)=kl;变形得：(m-n)t-(y-x)=kl;

令a=n-m;d=x-y;b=l;

即a*t+b*k=d;

用扩展的欧几里德求出其中一组解t0 ,p0, 并令c = gcd(a, b);

有 a * t0 + b * p0 = c;  (2)

因为c = gcd(a, b), 所以 a * t / c是整数，b * t / c 也是整数，所以 d / c 也需要是整数，否则无解。

 (2)式两边都乘(d / c) 得 a * t0 *(d / c) + b * p0 * (d / c) = d;

 所以t0=t0 * (d / c)是最小的解，但有可能是负数。

并且要想t0最小，a,b要满足互质，所以，a,b都除以gcd(a,b)

b=b/c;

所以t0=(t0%b+b)%b;

代码：

#include "stdio.h"
#include "string.h"
#include "algorithm"
#include "iostream"
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)//欧几里得算法的扩展
{
    LL r,t;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    r=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}
int main()
{
    LL x,y,m,n,l,xx,yy,d,r;
    while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)
    {
        d=exgcd(n-m,l,xx,yy);
        if((x-y)%d!=0)
            printf("Impossible
");
        else
        {
            xx=xx*((x-y)/d);
            r=l/d;
            xx=(xx%r+r)%r;//求出最小非负整数解
            printf("%lld
",xx);
        }
    }
    return 0;
}