C++迪杰斯特拉算法求最短路径

一：算法历史
　　迪杰斯特拉算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
二：算法思想
　　按路径长度递增次序产生算法：
　　把顶点集合V分成两组：
　　（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）
　　（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合
　　将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：
　　（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
　　（2）每个顶点对应一个距离值
　　S中顶点：从V0到此顶点的长度
　　T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度
　　依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
三：应用举例
　　（1）题目：编写一个校园导游程序，为来访的客人提供各种信息查询服务。
　　　　主要功能：1.设计学校的校园平面图，所含景点不少于10个：顶点表示景点，边表示路径等；
　　　　　　　　　2.为客人提供图中任意景点相关信息的查询；
　　　　　　　　　3.为客人提供图中任意景点的问路查询，即查询人以景点间的一条最短路径。
　　　　　　要求：1.设计一个主界面；
　　　　　　        2.设计功能菜单，供用户选择
　　　　　　        3.有一定的实用性。
　　（2）设计思路：
　　　　1、该题主要有算法思路以及程序的逻辑思路，首先从逻辑思路讲，进入程序，首先设计一个主菜单，选项有景点信息查询，最短路径查询以及显示景点的平面视图三个子菜单，然后根据用户的输入选择的子菜单前的编号，分进入不同的子菜单；该功能是由if….else if…. 语句实现。在景点信息查询和最短路径查询子菜单下还有二级子菜　单，都是列 出所有景点并在前面编号，查询景点信息时，输入景点前面的编号即可，查询最短路径时，先输入起点的编号，再输入终点的编号。而显示景点视图则调用景点平面图函数即可显 示。
　　　　2、算法思路主要是迪杰斯特拉算法的思路，利用迪杰斯特拉算法求最短路径。
　　　　3、先定义好图的储存结构，本题采用邻接矩阵的方式来表示图，并在主函数中初始化该图；
　　　　4、定义三个全局一维数组，一个bool类型数组S[]用来记录从v0到vi是否已经确定了最短路径，是则记S[i]=true,否记S[i]= flase；一个int 类型数组Path[]用来记录从v0到vi的当前最短路径上的vi的直接前驱顶点编号，若v 到vi之间有边则记Path[i] = v的编号，否则记Path[i] = -1；最后一个数组D[]用来记录从v0到vi之间的最短路径长度，存在则记v0到vi之间边的权值或者权值和，否则记为MAX
　　　　5、定义一个求最短路径的函数，传入的参数为图和起点，首先进行初始化工作，初始化S[]数组全为false，D[]数组初始化为起点到各个顶点的权值，Path[]数组初始化为起点是否与各顶点有边，有则记v0否则记-1；
　　　　6、然后进行n-1次for循环，找出vo到其余n-1个顶点之间的最短路径，比较当前D[]数组中最小值，找到最小值的编号v，该编号就是从v0出发到所有顶点中距离最短的顶点编号，然后把S[v]的值置为true。说明从v0出发到顶点v已经找到最短路径；
　　　　7、接着就要更新D[]数组，因为D[]数组是记录最短路径的，现在已经找到了一个顶点的最短路径，已该顶点v为中间点，判断从该顶点v出发到剩下的顶点的路径长度加上该点到v0的路径长度是否小于直接从v0出发到其余顶点的路径长度，如果小于，则更新D[i]为以该顶点v为中间点求得的路径长度。更新Path[i] = v；即i的前驱不再是v0而是v;
　　　　8、循环（6）（7）两步n-1次即可得到D[]数组，输出D[]数组既是v0到所有顶点的最短路径长度；

　　（3）源代码：

#include<iostream>
#include<fstream>
#include<string>
using namespace std;
/**
 *作者：Dmego
 *时间：2016-12-12
 */
#define MAX 1000000  //表示极大值∞
#define max 10
bool S[max];   //记录从源点V0到终点Vi是否已经确定为最短路径，确定了记true，否则记false
int Path[max]; //记录从源点V0到终点Vi的当前最短路径上终点Vi的直接前驱顶点序号，若V0到Vi之间有边前驱为V0否则为-1 
int D[max];  //记录源点到终点之间最短路径的长度，存在记V0到Vi的边的权值，否则记为MAX       
typedef struct
{
    string vexs[max];       //顶点表
    int arcs[max][max];      //邻接矩阵        
    int vexnum, arcnum;    //图当前点数和边数

}AMGraph;
//利用迪杰斯特拉算法求最短路径
void ShortestPath_DIJ(AMGraph &G, int v0)
{//使用迪杰斯特拉算法求有向网G中的V0 定点到其余顶点的最短路径
    int n = G.vexnum;//顶点数
    for (int v = 0; v < n; v++)//n个顶点依次初始化
    {
        S[v] = false;//S初始化为空集
        D[v] = G.arcs[v0][v];//将v0到各个终点的最短路径长度初始化为边上的权值
        if (D[v] < MAX)
            Path[v] = v0;//如果v0和v之间有边，则将v的前驱初始化为v0
        else
            Path[v] = -1;//如果v0和v之间无边，则将v的前驱初始化为-1
    }
    S[v0] = true; //将v0加入s
    D[v0] = 0;//源点到源点的权值为0
    //---------初始化结束，开始主循环，每次求得v0到某个顶点的最短路径，将v加到S数组
    for (int i = 1; i < n; i++)//依次对其余n-1个顶点进行计算
    {
        int    min = MAX;
        int v = v0;
        for (int w = 0; w < n; w++)
        {
            if (!S[w] && D[w] < min)
            {//选择一条当前最短路径，终点为v
                v = w;
                min = D[w];
            }
            S[v] = true;//将v加到s集合中
            for (int w = 0; w < n; w++)
            {//更新从v0出发到集合V-S上所有顶点的最短路径长度
                if (!S[w] && (D[v] + G.arcs[v][w] < D[w]))
                {
                    D[w] = D[v] + G.arcs[v][w];//更新D[w]
                    Path[w] = v;//更改w的前驱为v
                }
            }
        }
    }
}
//背景函数
void backGround()
{
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << "    |------------------------铁大旅游景点图-----------------|"     << endl;
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << "|           ⑦                                          单位：米  |" << endl;
    cout << "|           九教                                                  |" << endl;
    cout << "|            ◎                                      ⑧           |" << endl;
    cout << "|           ↗↖                                    九栋          |" << endl;
    cout << "|  ③  200╱    ╲                                   ◎           |" << endl;
    cout << "|  西   ↙        ╲ 150                            ↗ ↖         |" << endl;
    cout << "|  操 ◎            ╲       ①               160 ╱     ╲ 200   |" << endl;
    cout << "|  场  ↖150          ╲    信息          ⑥    ╱         ╲     |" << endl;
    cout << "|    ④  ↘    140      ↘  学院  200    基教 ↙     230     ↘   |" << endl;
    cout << "|   体育馆 ◎-------------→◎←--------------→◎←--------------→◎ |" << endl;
    cout << "|            ↖         ↗ ↖              ↗ ↖             ↗② |" << endl;
    cout << "|          100 ╲     ╱     ╲ 125      ╱     ╲ 150     ╱  综 |" << endl;
    cout << "|                ↘ ↙ 100     ╲      ╱135      ╲     ╱145 餐 |" << endl;
    cout << "|                  ◎            ↘  ↙             ↘ ↙        |" << endl;
    cout << "|             ⑨ 沁园              ◎                 ◎         |" << endl;
    cout << "|                             ⑩ 翠园          ⑤  春晖楼         |" << endl;
    cout << "|                                                               |" << endl;
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;

}
//主菜单
void menu()
{
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << "|----------------------------铁大导游小程序-----------------------|" << endl;
    cout << "    |*********************************************************|" << endl;
    cout << "        |--------------------1-景点信息查询--------------|" << endl;
    cout << "        |--------------------2-最短路径查询--------------|" << endl;
    cout << "        |--------------------3-显示景点视图--------------|" << endl;
    cout << "        |-------------------4-退出导游程序------ --------|" << endl;
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << ">>>请选择：";
}
//景点信息查询二级菜单
void jmenu()
{
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << "    |-------------------------景点信息查询------------------------|" << endl;
    cout << "    |***********************************************************|" << endl;
    cout << "      |----------------------1-信息学院介绍-------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------2-综合餐厅介绍-------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------3-西操场介绍---------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------4-体育馆介绍---------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------5-春晖楼介绍---------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------6-基教介绍-----------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------7-九教介绍-----------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------8-九栋介绍-----------------------| " << endl;
    cout << "      |----------------------9-沁园介绍-----------------------| " << endl;
    cout << "      |---------------------10-翠园介绍-----------------------| " << endl;
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << ">>>请要查询的景点编号：";
}
//最短路径查询二级菜单
void pmenu()
{
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << "    |-------------------------最短路径查询------------------------|" << endl;
    cout << "    |***********************************************************|" << endl;
    cout << "        |---------------------1-信息学院-------------------| " << endl;
    cout << "        | --------------------2-综合餐厅-------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------3-西操场---------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------4-体育馆---------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------5-春晖楼---------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------6-基教-----------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------7-九教-----------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------8-九栋-----------------------| " << endl;
    cout << "        |---------------------9-沁园-----------------------| " << endl;
    cout << "        |--------------------10-翠园-----------------------| " << endl;
    cout << "|*****************************************************************|" << endl;
    cout << ">>>请依次输入起点编号和终点编号：";
}
void main()
{
     //初始化操作
    AMGraph amg = { { "信息学院","综合餐厅","西操场","体育馆","春晖楼",
                      "基教",    "九教",    "九栋",   "沁园", "翠园" },
        //-1代表两边不相连，权值无限大
        //邻接矩阵   /* 信  综  西  体  春  基  教  栋  沁  翠*/    
                     {{MAX,MAX,MAX,140,MAX,200,150,MAX,100,125 },
                      {MAX,MAX,MAX,MAX,145,230,MAX,100,MAX,MAX },
                      {MAX,MAX,MAX,150,MAX,MAX,200,MAX,MAX,MAX },
                      {140,MAX,150,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,100,MAX },
                      {MAX,145,MAX,MAX,MAX,150,MAX,MAX,MAX,MAX },
                      {200,230,MAX,MAX,150,MAX,MAX,160,MAX,135 },
                      {150,MAX,200,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX },
                      {MAX,200,MAX,MAX,MAX,160,MAX,MAX,MAX,MAX },
                      {100,MAX,MAX,100,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX,MAX },
                      {125,MAX,MAX,MAX,MAX,135,MAX,MAX,MAX,MAX }
                      },10,14};
    int f, ff;
    int start, end;
    while (true)
    {
        cout << endl;
        menu();
        cin >> f;
        if (f == 1)
        {
            jmenu();
            cin >> ff;
　　　　　　　//景点信息从文件中读取
            ifstream outfile("schooltravel.txt", ios :: out | ios :: binary);
            if (!outfile)
            {
                cerr << "读取景点介绍文件失败！" << endl;
                exit(1);
            }
            string str[max];
            int i = 0;
            while (getline(outfile, str[i++]));
            cout << "|-----------------------景点介绍-------------------| " << endl;
            if (ff == 1)
                cout << str[0] << endl;
            else if (ff == 2)
                cout << str[1] << endl;
            else if (ff == 3)
                cout << str[2] << endl;
            else if(ff == 4)
                cout << str[3] << endl;
            else if (ff == 5)
                cout << str[4] << endl;
            else if (ff == 6)
                cout << str[5] << endl;
            else if (ff == 7)
                cout << str[6] << endl;
            else if (ff == 8)
                cout << str[7] << endl;
            else if (ff == 9)
                cout << str[8] << endl;
            else if (ff == 10)
                cout << str[9] << endl;
            cout << "|-------------------------------------------------|" << endl;
        }
        else if (f == 2)
        {
            pmenu();
            cin >> start >> end;
            ShortestPath_DIJ(amg, start - 1);
            int temp = end-1;
            int temp1, temp2;
            int flag[max], m = 0;
            cout << "从" << amg.vexs[start - 1] << "到" << amg.vexs[end - 1] << "最短路径为：" ;
            while (temp!= -1)
            {
                flag[m++] = temp;
                temp1 = temp ;
                temp2 = Path[temp1];
                temp = temp2;
            }
            for (int i = m-1; i >= 0; i--)
            {
                cout <<amg.vexs[flag[i]] << "->";
            }
            cout << endl;
            cout << "最短路径值为：" << D[end - 1] <<"米"<< endl;
        }
        else if (f == 3)
        {
            backGround();
        }
        else if (f == 4)
        {
            cout << ">>>退出成功！" << endl;
            exit(0);
        }
    }
}

　　（4）运行截图：

　                               　

                                       

                                   

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