AcWing 204. 表达整数的奇怪方式 / Strange Way To Express Integers

我作为一个初中蒟蒻，听y大视频听了5遍还不懂，快哭了。然后终于（好像）搞懂，写成题解加深一下记忆...

将式子等价转换

对于每两个式子（我们考虑将其合并）：

(x equiv a_1 \% m_1)

(x equiv a_2 \% m_2)

则有：

(x = k_1 * a_1 + m_1)

(x = k_2 * a_2 + m_2)

进一步：

(k_1 * a_1 + m_1 = k_2 * a_2 + m_2)

移项：

(k_1 * a_1 - k_2 * a_2 = m_2 - m_1)

也就是：

① (k_1 * a_1 + k_2 * (-a_2) = m_2 - m_1)

也就是我们需要找到一个最小的(k_1, k_2)，使得等式成立（因为要求(x)最小，而(a)和(m)都是正数）。

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用扩展欧几里得算法找出一组解

我们已知(a_1,m_1,a_2,m_2)，可以用扩展欧几里得算法算出一个(k'_1, k'_2)使得：

(k'_1 * a_1 + k'_2 * (-a_2) = gcd(a_1, -a_2))

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无解判断：

若(gcd(a_1, -a_2) mid m_2 - m_1)，则无解。

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我们设(d = gcd(a_1, -a_2),y = frac{(m_2 - m_1)}{d})

承接上文，我们只需让(k_1, k_2)分别扩大(y)倍，则可以找到一个(k_1, k_2)满足①式：

(k_1 = k'_1 * y, k_2 = k'_2 * y)

找到最小正整数解

我们知道一个性质：

②(k_1 = k_1 + k *frac{a_2}{d})

(k_2 = k_2 + k *frac{a_1}{d})

(k)为任意整数，这时新的(k_1, k_2)仍满足①式。

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证明：

将新的(k_1, k_2)带入式子得:

((k_1+k*frac{a_2}{d})*a_1+(k_2+k*frac{a_1}{d})*(-a_2)=m_2-m_1)

拆出来：

(k_1*a_1+k*frac{a_2*a_1}{d}+k_2*(-a_2)+k*frac{a_1*(-a_2)}{d}=m_2-m_1)

交换一下顺序，把负号拆出来：

(k_1*a_1+k_2*(-a_2)+k*frac{a_2 * a_1}{d}-k*frac{a_1 * a_2}{d}=m_2-m_1)

那个同加同减可以消掉：

(k_1*a_1+k_2*(-a_2)=m_2-m_1)

这个式子和①是一样的，因①成立，故此式也成立。

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要找一个最小的非负整数解，我们只需要让

(k_1 = k_1 \% abs(frac{a_2}{d}))

(k_2 = k_2 \% abs(frac{a_1}{d}))

即可找到当前最小的(k_1, k_2)的解，即此时的(k)为(0)。

(Q)：此处为什么要取绝对值呢

(A)：因为不知道(frac{a_2}{d})的正负性，我们在原基础上要尽量减多个(abs(frac{a_2}{d}))，使其为正整数且最小。

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等效替代：

由②式带入

新的(x)为：

(x = (k_1 + k * frac{a_2}{d}) * a_1 + m_1)

(= k_1 * a_1 + m_1 + k * frac{a_2 * a_1}{d})

(= k_1 * a_1 + m_1 + k * lcm(a_1, a_2)) ③

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(Q):这里，(k)都为(0)了，为什么还要算呢？

(A):因为这只是前两个式子得最小(k)，有可能遇到下一个式子后面被迫要扩大

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在③中，我们设(a_0 = lcm(a_1, a_2), m_0 = k_1 * a_1 + m_1)

那么：

③ $ = k * a_0 + m_0$

这个形式与一开始我们分解的形式是不是特别像呢？

没错！假设之后又来了一个(a_3, m_3)

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我们只需要继续找：

(x = k * a_0 + m_0 = k_3 * (-a_3) + m_3)，那么问题又回到了第一步。

总结

我们的做法相当于每次考虑合并两个式子，将这(n)个式子合并(n - 1)次后变为一个式子。最后剩下的式子就满足我们的答案。

注意：

1. (lcm(a_1, a_2))和(\% frac{a_2}{d})，需要取绝对值。又因为(d = gcd(a_1, -a_2))，我们不知道(a_1)的正负性（可能是上一步推过来的）。

2. (\% frac{a_2}{d})，需要取绝对值， 膜负数的话，不会取到正解；

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n;
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y){
    if(b == 0){
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }

    LL d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
LL inline mod(LL a, LL b){
    return ((a % b) + b) % b;
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    LL a1, m1;
    scanf("%lld%lld", &a1, &m1);
    for(int i = 1; i < n; i++){
        LL a2, m2, k1, k2;
        scanf("%lld%lld", &a2, &m2);
        LL d = exgcd(a1, -a2, k1, k2);
        if((m2 - m1) % d){ puts("-1"); return 0; }
        k1 = mod(k1 * (m2 - m1) / d, abs(a2 / d));
        m1 = k1 * a1 + m1;
        a1 = abs(a1 / d * a2);
    }
    printf("%lld
", m1);
    return 0;
}