AcWing 199. 余数之和

(sum_{i = 1}^{n} k mod i = n * k - sum_{i = 1}^{n} lfloor k / i floor * i)

显然，(lfloor k / i floor) 是最棘手的，我们要想办法简化计算。

证明单调性

• 观察 (lfloor k / i floor)，显然随着 (i) 的增大，这个式子是越来越小的。

• 又因为有向下取整符号，所以该式子取值只能是整数。

若我们设函数 (f(x) = lfloor k / x floor)。则画在坐标轴中应该是从高到低一条条横线。

上图是一条 (f(x) = lfloor 10 / x floor) 的图像。

证明该式子最多只有 (2sqrt{k}) 个取值

分段讨论：

• 当 (i <= sqrt{k}) 时，因为 (i) 是 (1) 到 (sqrt{k}) 的整数，所以最多只有 (sqrt{k}) 个不同的 (lfloor k / i floor) 值。
• 当 (i > sqrt{k}) 时，(lfloor k / i floor <= sqrt{k})，又因为式子取整了，所以式子只能取(1) 到 (sqrt{k}) 的整数，故最多也只有 (sqrt{k}) 个不同的 (lfloor k / i floor) 值。

综上所述，(lfloor k / i floor) 最多只有 (2sqrt{k}) 个取值

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有关 当 (i > sqrt{k}) 时，(lfloor k / i floor <= sqrt{k}) 的证明：

由于下取整，所以 (lfloor k / i floor * i <= k) ①

假设 $lfloor k / i floor > sqrt{k} $，有 (lfloor k / i floor * i > lfloor k / i floor * sqrt{k} > sqrt{k} ^ 2 = k)。②

① 与 ② 矛盾

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通过以上步骤，我们可以知道这个答案由连续 (2sqrt{k}) 段不同的取值组成，那么我们只需要确定每种取值是下界 (l) 和 上界 (r)。通过 (sum_{i = l}^{r} lfloor k / i floor * i = sum_{i = l}^{r} lfloor k / l floor * i = lfloor k / l floor * (sum_{i = l}^{r}i)) 即可求得每一段对答案的贡献。((sum_{i = l}^{r}i)) 可以用等差数列求和公式计算。

已知下界求上界

假设我们知道一段相同取值的下界是 (x)，若能求出上界，我们问题便解决了。

猜想若下界是 (x)，上界是 (r = lfloor k / lfloor k / x floor floor)

第一步、求证 (lfloor k / x floor = lfloor k / r floor)

• 由定义式可知 (r * lfloor k / x floor + q = k) ③，其中 (0 <= q < lfloor k / x floor)，所以 (lfloor k / r floor = lfloorfrac{r * lfloor k / x floor + q}{r} floor = lfloor k / x floor + lfloor frac{q}{r} floor >= lfloor k / x floor)

• (r >= lfloor k / (k / x ) floor = x)，所以 (lfloor k / x floor >= lfloor k / r floor)

综上 (lfloor k / x floor = lfloor k / r floor)。

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第二步、求证 (lfloor k / (r + 1) floor ot = lfloor k / x floor)

假设 (lfloor k / (r + 1) floor = lfloor k / x floor)

那么有 ((r + 1) * lfloor k / x floor + q' = k)，其中 (0 <= q < r + 1)

把式子变化一下：

$r * lfloor k / x floor + lfloor k / x floor + q' = k $ ④

③④ 联立，有：

(lfloor k / x floor + q' < lfloor k / x floor)

因为 (q' >= 0)，所以该式子矛盾，故假设不成立。

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通过这两步及之前的单调性，我们知道 (lfloor k / lfloor k / x floor floor) 一定是上界

算法

所以算法就很好设计了：

• 设 (l = 1)，算出上界 (r)。计算这段的贡献
• 使 (l = r + 1)，即跳到下一段计算贡献。
• 重复知道算完 ([1, n]) 里所有段。

(Tips:)

1. 当 (lfloor k / l floor = 0) 的时候，显然这段以及后面（有单调性）已经没有贡献了，可以 (break)。（或者直接设右端点为 (n)）
2. 注意右端点和 (n) 取个 (min)，因为 $ > n$ 没有贡献了。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n, k, l, r;
LL ans;
int main() {
	scanf("%d%d", &n, &k);
	ans = (LL)n * k;
	for (l = 1; l <= n; l = r + 1) {
	    if(k / l == 0) break;
		r = min(k / (k / l), n);
		ans -= (LL)(k / l) * (l + r) * (r - l + 1) / 2;
	}
	printf("%lld
", ans);
	return 0;
}