dp背包问题／01背包，完全背包，多重背包，／coin change算法求花硬币的种类数

一步一步循序渐进。

Coin Change

具体思想：给你 N元，然后你有几种零钱S={S1,S2...,Sm} (每种零钱数量不限).

问：凑成N有多少种组合方式  即N=x1 * S1+x2*S2+...+xk*Sk (xk>=0,k=1,2..m) 

设有f(x)中组合方式   

有两种解答（自底向上回溯）:　　1.不用第m种货币   f(N,m-1)

　　　　　　　 　　　　　　　　2.用第m种货币 f(N-Sm,m)　

　　　　　　　　　　　　　　　　总的组合方式为f(N,m)=f(N,m-1)+f(N-Sm,m)

anything is nonsense,show me the code

def count( n, m ):
    if n < 0 or m <= 0: #m < 0 for zero indexed programming languages
        return 0
    if n == 0: # needs be checked after n & m, as if n = 0 and m < 0 then it would return 1, which should not be the case.
        return 1
 
    return count( n, m - 1 ) + count( n - S[m], m )

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因为f(N,m)<f(x,y)  <--> n<=x,m<=y  (n,m)!=(x,y).因此满足dp的最优子结构条件

时间复杂度会有O(n*m)

详解和用树的思想分析符合dp

func count( n, m )

  for i from 0 to n
    for j from 0 to m
      if i equals 0
         table[i, j] = 1          
      else if j equals 0
         table[i, j] = 1 if i%S[j] equals 0 else 0
      else if S_j greater than i
         table[i, j] = table[i, j - 1]
      else 
         table[i, j] = table[i - S_j, j] + table[i, j-1]

  return table[n, m]

三道题目练手:

UVA,674

　　　　　　　　　　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int S[5]={1,5,10,25,50};

int count(int n)
{
    int table[n+1];
    memset(table,0,sizeof(table));
    
    table[0]=1;
    for(int i=0;i<5;i++)
        for(int j=S[i];j<=n;j++)
            table[j]+=table[j-S[i]];
    return table[n];
}

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d
",count(n));
    }
    return 0;
}

UVA,147

注意点：存在小数，又因为题目提示都是5的倍数，所以每项乘以100作整数处理

.......这题我想砸电脑。。我5000/5＝1250....wa 十几分钟。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string.h>
using namespace std;

int S[11]={1,2,4,10,20,40,100,200,400,1000,2000};

int main()
{
    long long table[6010]={1};
    for(int i=0;i<11;i++)
        for(int j=S[i];j<=6000;j++)
            table[j]+=table[j-S[i]];
    double n;
    while(scanf("%lf",&n)!=EOF)
    {
        int c=(int)(n*20+0.5);
        if(n==0.00)
            break;
        printf("%6.2lf%17lld
",n,table[c]);
    }
    return 0;
}

UVA, 357

用long long表示组合的的种类比较多

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

int S[5]={1,5,10,25,50};
const int maxn=30010;
//水题
int main()
{
    int n;
    long long table[maxn];
    memset(table,0,sizeof(table));
    table[0]=1;
    for(int i=0;i<5;i++)
        for(int j=S[i];j<=maxn;j++)
            table[j]+=table[j-S[i]];
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(table[n]==1)
            printf("There is only 1 way to produce %d cents change.
",n);
        else
            printf("There are %lld ways to produce %d cents change.
",table[n],n);
    }
    return 0;
}

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动态规划具体详解：动态规划，从新手到专家

背包问题：背包问题九讲

uva,357

题意是买东西问题，生活中最常见的问题竟然弄这么道题目，真是开眼界了。

给你一组货币 {5c,10c,20c,50c,1,2} 

输入：每种货币的个数，需要付的钱

条件：售货员有每种货币充足，你每种货币数量已知，要你求付钱所用最少的硬币数量（最优子结构）

模拟背包：需要付的钱为背包容量，每种货币为要装进背包的容量，

所有的硬币数＝我付的硬币数＋售货员找我的硬币数（最小）

用两部分的最小达到总体的最小（局部最优解求总体最优解）

满足以上两个要素为dp问题。

完全背包：售货员硬币足够。 用它算出售货员要找的硬币的最小个数

多重背包：我要付的硬币的最小个数

#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <math.h>

using namespace std;

const int MAX=2000;
int coin[6]={1,2,4,10,20,40},f1[MAX+1],f2[MAX+1],n[6];

void zero_one(int *f,int t)
{
    for(int i=MAX;i>=t;i--)
        if(f[i-t]!=-1 && (f[i]==-1 || f[i-t]+1<f[i]))
            f[i]=f[i-t]+1;
}

void complete(int *f,int t)
{
    for(int i=t;i<=MAX;i++)
        if(f[i-t]!=-1 && (f[i]==-1 || f[i-t]+1<f[i]))
            f[i]=f[i-t]+1;
}

void multiple(int *f)
{
    for(int i=0;i<6;i++)
        if(n[i]*coin[i]>MAX)
            complete(f,coin[i]);
        else
        {
            while(n[i]--)
                zero_one(f,coin[i]);
        }
}

int main()
{
    float t;
    int total;
    while(true)
    {
        total=0;
        for(int i=0;i<6;i++)
        {
            scanf("%d",&n[i]);
            total+=n[i];
        }
        if(total==0)
            break;
        scanf("%f",&t);
        int tar=(int)(t*20+0.5f);
        memset(f1,-1,sizeof(f1));f1[0]=0;
        memset(f2,-1,sizeof(f2));f2[0]=0;
        
        multiple(f1);
        
        for(int i=0;i<6;i++)
            complete(f2,coin[i]);
        int ans=MAX;
        
        for(int i=tar;i<=MAX;i++)
        {
            if(f1[i]!=-1 && f2[i-tar]!=-1 && ans>f1[i]+f2[i-tar])
                ans=f1[i]+f2[i-tar];
        }
        printf("%3d
",ans);
    }
    return 0;
}

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　具体各个背包问题详解可以参考：低调小一

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