LCS最长公共子串（复习复习）－ －

详细解析LCS：传送通道

重点：

　　

动态规划算法分以下4个步骤：

1. 描述最优解的结构
2. 递归定义最优解的值
3. 按自底向上的方式计算最优解的值   //此3步构成动态规划解的基础。
4. 由计算出的结果构造一个最优解。   //此步如果只要求计算最优解的值时，可省略

解决LCS问题，你要求三个方面的东西：1、LCS（Xm-1，Yn-1）+1；2、LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）；3、max{LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）}。

show me the code:

Procedure LCS_LENGTH(X,Y);
begin
  m:=length[X];
  n:=length[Y];
  for i:=1 to m do c[i,0]:=0;
  for j:=1 to n do c[0,j]:=0;
  for i:=1 to m do
    for j:=1 to n do
      if x[i]=y[j] then
        begin
          c[i,j]:=c[i-1,j-1]+1;
          b[i,j]:="↖";
        end
      else if c[i-1,j]≥c[i,j-1] then
        begin
          c[i,j]:=c[i-1,j];
          b[i,j]:="↑";
        end
      else
        begin
          c[i,j]:=c[i,j-1];
          b[i,j]:="←"
        end;
  return(c,b);
end;

uva,10066

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int maxn=105;
int lcs[maxn][maxn];
int N1,N2;
int main()
{
    int s1[maxn],s2[maxn];
    for(int t=1;;t++)
    {
        scanf("%d %d",&N1, &N2);
        if(!N1 && !N2) break;
        int i,j;
        for(i = 0; i < N1; i++)
            scanf("%d",&s1[i]);
        for(j = 0; j < N2; j++)
            scanf("%d",&s2[j]);
        for(i=1;i<=N1;i++)
            for(j=1;j<=N2;j++)
            {
                if(s1[i-1]==s2[j-1])
                    lcs[i][j]=lcs[i-1][j-1]+1;
                else
                {
                    lcs[i][j]=max(lcs[i-1][j],lcs[i][j-1]);
                }
            }
        printf("Twin Towers #%d
",t);
        printf("Number of Tiles : %d

",lcs[N1][N2]);
    }
    return 0;
}

UVA, 10192

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>

using namespace std;
const int maxn=105;
int lcs[maxn][maxn];
int m,n;
int main()
{
    int t=1;
    char s1[maxn],s2[maxn];
    while(gets(s1))
    {
        if(s1[0]=='#') break;
        gets(s2);
        m=strlen(s1);
        n=strlen(s2);
        for(int i=1;i<=m;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(s1[i-1]==s2[j-1])
                    lcs[i][j]=lcs[i-1][j-1]+1;
                else
                {
                    lcs[i][j]=max(lcs[i-1][j],lcs[i][j-1]);
                }
            }
        printf("Case #%d: you can visit at most %d cities.
",t++,lcs[m][n]);
    }
    return 0;
}

UVA, 531

两种回溯方式：自顶向下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <string>
#include <cmath>
using namespace std;

int lcs[101][101];
string s1[101],s2[101],seq[101];
int n1,n2;
int main()
{
    int t,i,j;
    string s;
    while( cin >>s)
    {
        n1=n2=0;
        while( 1)
        {
            if( s!="#")
                s1[++n1] =s;
            else
                break;
            cin >>s;
        }
        while( 1)
        {
            cin >>s;
            if( s!="#")
                s2[++n2] =s;
            else
                break;
        }
        memset( lcs, 0,sizeof( lcs));
        for( i=1; i<=n1; i++)
            for( j=1; j<=n2; j++)
            {
                if( s1[i] ==s2[j] )
                    lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] +1;
                else
                    lcs[i][j] =max( lcs[i-1][j], lcs[i][j-1]);
            }
        int ans =lcs[n1][n2];
        t= ans;
        while( lcs[n1][n2])
        {
            if( lcs[n1][n2] ==lcs[n1-1][n2]) n1--;
            else if( lcs[n1][n2] ==lcs[n1][n2-1]) n2--;
            else
            {
                seq[--t] =s1[n1];
                n1--; n2--;
            }
        }
        for( i=0; i<ans; i++)
            if( !i)
                printf("%s",seq[i].c_str());
            else
                printf(" %s",seq[i].c_str());
        printf("
");
    }
    return 0;
}

自底向上：

引用别人的java代码

import java.util.Random;

public class LCS{
    public static void main(String[] args){

        //设置字符串长度
        int substringLength1 = 20;
        int substringLength2 = 20;  //具体大小可自行设置

        // 随机生成字符串
        String x = GetRandomStrings(substringLength1);
        String y = GetRandomStrings(substringLength2);

        Long startTime = System.nanoTime();
        // 构造二维数组记录子问题x[i]和y[i]的LCS的长度
        int[][] opt = new int[substringLength1 + 1][substringLength2 + 1];

        // 动态规划计算所有子问题
        for (int i = substringLength1 - 1; i >= 0; i--){
            for (int j = substringLength2 - 1; j >= 0; j--){
                if (x.charAt(i) == y.charAt(j))
                    opt[i][j] = opt[i + 1][j + 1] + 1;                                 //参考上文我给的公式。
                else
                    opt[i][j] = Math.max(opt[i + 1][j], opt[i][j + 1]);        //参考上文我给的公式。
            }
        }

        -------------------------------------------------------------------------------------

        理解上段，参考上文我给的公式：

        根据上述结论，可得到以下公式，

        如果我们记字符串Xi和Yj的LCS的长度为c[i,j]，我们可以递归地求c[i,j]：

        -------------------------------------------------------------------------------------

        System.out.println("substring1:"+x);
        System.out.println("substring2:"+y);
        System.out.print("LCS:");

        int i = 0, j = 0;
        while (i < substringLength1 && j < substringLength2){
            if (x.charAt(i) == y.charAt(j)){
                System.out.print(x.charAt(i));
                i++;
                j++;
            } else if (opt[i + 1][j] >= opt[i][j + 1])
                i++;
            else
                j++;
        }
        Long endTime = System.nanoTime();
        System.out.println(" Totle time is " + (endTime - startTime) + " ns");
    }

    //取得定长随机字符串
    public static String GetRandomStrings(int length){
        StringBuffer buffer = new StringBuffer("abcdefghijklmnopqrstuvwxyz");
        StringBuffer sb = new StringBuffer();
        Random r = new Random();
        int range = buffer.length();
        for (int i = 0; i < length; i++){
            sb.append(buffer.charAt(r.nextInt(range)));
        }
        return sb.toString();
    }
}

UVA, 10100

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <string.h>
#include <vector>

using namespace std;
int lcs[1010][1010];
int main()
{
    char s3[1005],s4[1005];
    int k=1;
    while(gets(s3))
    {
        gets(s4);
        if(s3[0]=='' || s4[0]=='')
        {
            printf("%2d. Blank!
",k++);
            continue;
        }
        int m=strlen(s3);
        int n=strlen(s4);
        int i,j;
        string s1[1005],s2[1005];  //放全局就wa
        int count1=0;
        bool flag=false;
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            char c=s3[i];
            if(isalpha(c) || isdigit(c))
            {
                if(!flag)
                {
                    count1++;
                    s1[count1]+=c;
                    flag=true;
                }
                else
                    s1[count1]+=c;
            }
            else
                flag=false;
        }
        flag=false;
        int count2=0;
        for(i=0;i<n;i++)
        {
            char c=s4[i];
            if(isalpha(c) || isdigit(c))
            {
                if(!flag)
                {
                    count2++;
                    s2[count2]+=c;
                    flag=true;
                }
                else
                    s2[count2]+=c;
            }
            else
                flag=false;
        }
        for(i=1;i<=count1;i++)
            for(j=1;j<=count2;j++)
            {
                if(s1[i]==s2[j])
                    lcs[i][j]=lcs[i-1][j-1]+1;
                else
                    lcs[i][j]=max(lcs[i-1][j],lcs[i][j-1]);
            }
            printf("%2d. Length of longest match: %d
",k++,lcs[count1][count2]);
    } 
    return 0;
}