前言
本文通过尽量短，通俗易懂的形式帮助大家理解最简单的 exgcd。
前置知识：
裴蜀定理：
[ax+by=c,xin mathbb{Z}^*,yin mathbb{Z}^*有解的充要条件是gcd (a,b)|c
]
欧几里得算法（辗转相除法）
[gcd(a,b)=gcd(b,amod b) (b
eq 0)
]
模运算的本质:
[amod b = a - leftlfloor frac{a}{b}
ight
floor b
]
其中 (leftlfloor frac{a}{b} ight floor) 指的是 (frac{a}{b}) 下取整。
正片：
exgcd，扩展欧几里得，扩欧，是求下面这个不定方程解的方法:
[ax+by=gcd(a,b)
]
把后面的 (gcd(a,b)) 辗转相除一下再写成类似的形式（这里的 (x',y') 是对应 (gcd(b,amod b)) 的 (x,y)，和上面的 (x,y) 没有关系）：
[bx'+(amod b)y'=gcd(b,amod b)
]
[ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,amod b)=bx'+(a-leftlfloorfrac{a}{b}
ight
floor b)y'
]
[ax+by=bx'+(a-leftlfloorfrac{a}{b}
ight
floor b)y'
]
因为要求解 (x,y)，所以假设我们已经求解了 (x',y')，则要按 (a,b) 把两个方程分开，然后就可以递归求解了。（貌似没有为什么，就是这么处理然后是可以递归求解的）
[ax+by=ay'+b(x'-leftlfloor frac{a}{b}
ight
floor
y')
]
解出 (x,y) 就要求解 (x'y')，注意求解 (x'y') 的时候，他们对应的 (a,b) 实际上是原先 (x,y) 的 (a,b) 的 (b,amod b)。
递归就能求出 (ax+by=gcd(a,b)) 一组特解了，最后当 (b=0) 的时候递归终止，此时 (ax+by=gcd(a,b)) 的解显然是 (x=1,y=0) （ (0) 和非零数的 (gcd) 仍为那个数本身）。
(mathcal{Code})
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if(!b) { x = 1, y = 0; return ; }
exgcd(b, a % b, x, y);
int nx = y, ny = x - (a / b) * y;
x = nx, y = ny;
}
后记
这样最基础的 exgcd 就到这里了，如果想进一步理解更深层的 exgcd，推荐阅读: