Cutting Game
给定一张 (N imes M) 的矩形网格纸,两名玩家轮流行动。
在每一次行动中,可以任选一张矩形网格纸,沿着某一行或某一列的格线,把它剪成两部分。
首先剪出 (1 imes 1) 的格纸的玩家获胜。
两名玩家都采取最优策略行动,求先手是否能获胜。
(2leq N,Mleq 200)。
题目链接:POJ 2311 Cutting Game,ACWing 219. 剪纸游戏
Solution
最后终止条件为剪出 (1 imes 1) 的获胜,不符公平组合游戏中的 "终止的局面为必败点" 的性质,但可以转化终止的局面,使得终止的局面为必败点。
能剪出 (1 imes 1) 的纸片当且仅当当前为 (1 imes x) 或 (x imes 1,x>1) 的纸片,这些纸片一定是必败点。
那么把终点定义成当前局面为 (1 imes x) 或 (x imes 1,x>1),就满足了公平组合游戏的性质。
设 (SG(x,y)) 为 (x imes y) 的局面的 SG 函数值。一刀可以横着切也可以竖着切,切完一刀后是分成了两个局面,由 SG 定理,如果这样切当前 SG 函数的值就为分成的两个局面的 SG 函数值的异或值。
所以有:
[SG(x,y)= ext{mex}({SG(i,y)oplus SG(x-i,y)mid 2leq x-2}cup {SG(x,i)oplus SG(x,y-i)mid 2leq ileq y-2})
]
注意到 (SG) 不会超过 (N,M),则可以在 (mathcal{O}(N^3)) 的复杂度内求解,也就是 (mathcal{O}(N^2)) 枚举,单次 (mathcal{O}(N)) 转移。
Code
int n, m;
int SG[210][210], vis[210];
void pre() {
for(int x = 2; x <= 200; ++x)
for(int y = 2; y <= 200; ++y) {
for(int i = 0; i <= 200; ++i) vis[i] = 0;
for(int i = 2; x - i >= 2; ++i) vis[SG[i][y] ^ SG[x-i][y]] = 1;
for(int i = 2; y - i >= 2; ++i) vis[SG[x][i] ^ SG[x][y-i]] = 1;
for(int i = 0; i <= 200; ++i)
if(!vis[i]) {
SG[x][y] = i;
break;
}
}
}
signed main() {
pre();
while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
printf("%s
", SG[n][m] == 0 ? "LOSE" : "WIN");
return 0;
}