齐次表示

　　点表示空间中的一个位置，而向量仅表示一个方向，没有具体的位置。使用3x3的矩阵（或者二维空间中2x2矩阵）可以对坐标进行线性变换，比如旋转、缩放，以及错切等。然而，使用这种矩阵并不能进行平移变换。对向量来说，这种不足并不重要，因为向量的平移没有任何意义。只有点才有平移的意义和价值。

　　对于向量和点的变换来说，齐次表示非常有用，可以只对点进行平移操作。它可以把一个3x3的矩阵扩展为4x4的矩阵，三维的点和向量可以增加一维元素，一个齐次坐标可以表示为：p = (p_x, p_y, p_z, p_w)。随后可以知道，对于点，p_w = 1，对于向量，p_w = 0。对于投影来说，可以用其他几个值来代替p_w。如果p_w ≠ 0且p_w ≠ 1.那么可以通过齐次化处理获得实际的点，其中所有的分量都除以p_w，这意味着可以得到点(p_x/p_w, p_y/p_w, p_z/p_w, 1)。

　　式(A.43)所示为一个3x3的矩阵M，可以将其扩展为一个齐次4x4的矩阵形式（一种最简单的扩展形式）。

　　

　　旋转矩阵、缩放矩阵，以及错切矩阵可以替换(A.43)中的矩阵M，而且会影响到向量和点。然而，平移变换使用了增强矩阵的额外元素来实现平移目的。式(A.44)所示为一种典型的平移矩阵T，可以通过向量t实现对点的平移。

　　

　　很容易验证，Tv变换对向量v = (v_x, v_y, v_z, 0)并没有什么影响，因为v的最后一个元素为0。如果将点p = (p_x, p_y, p_z, 1)变换为Tp，那么变换之后的结果就是(p_x + t_x, p_y + t_y, p_z + t_z, 1)，也就是将p平移了一个t。