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  • 费马小定理【数论】

    假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p)

    例如:假如a是整数,p是质数,则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1),那么我们可以得到费马小定理的一个特例,即当p为质数时候, a^(p-1)≡1(mod p)。

    首先看一个基本的例子。
    令a = 3,n = 5,这两个数是互素的。
    比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4,所以φ(5)=4(详情见[欧拉函数])。
    计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81,而81= 80 + 1 Ξ 1 (mod 5)。与定理结果相符。
    这个定理可以用来简化幂的模运算。
    比如计算7^{222}的个位数,实际是求7^{222}被10除的余数。
    7和10[[互素]],且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod 10)。
    所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

    补充:

    费马小定理是初等数论四大定理(威尔逊定理欧拉定理(数论中的欧拉定理),中国剩余定理(又称孙子定理)之一,在初等数论中有着非常广泛和重要的应用。实际上,它是欧拉定理的一个特殊情况(即

    ,见于词条“欧拉函数”)。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/donke/p/10306731.html
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