IT公司100题-18-圆圈中最后剩下的数字

问题描述：

n个数字(下标为0, 1, …, n-1)形成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈中删除第m个数字(当前数字从1开始计数)。当一个数字被删除后，从被删除数字的下一个数字开始计数，继续删除第m个数字。求这个圆圈中剩下的最后一个数字。

 

分析：

这是有名的约瑟夫环问题。

最直接的方法：

使用链表来模拟整个删除过程。因为需要n个链表节点，所以空间复杂度为O(n)。每删除一个节点，都需要m次运算，所以时间复杂度为O(mn)。

实现代码如下所示：

// 18_1.cc
#include <iostream>
#include <list>
using namespace std;

int josephus(size_t n, size_t m) {
    if (n < 1 || m < 1)
        return -1;
    else if (n == 1)
        return 0;

    list<int> jos;
    for(size_t i = 0; i < n; i++)
        jos.push_back(i);

    list<int>::iterator it = jos.begin();
    while(jos.size() > 1) {
        for(size_t i = 1; i <= m; i++) {
            it++;
            if(it == jos.end())  // 模拟环形
                it = jos.begin();
        }

        list<int>::iterator next = it;

        if (it == jos.begin())
            it = jos.end();
        it--;
        jos.erase(it);
        it = next;
    }

    return *it;
}

int main() {
    size_t n = 10;
    size_t m = 2;
    cout << "The last one is: " << josephus(n, m) << endl;
    return 0;
}

从数学角度推导递推公式：

(1) 最开始n个数字为:0, 1, 2, … , n-1，该序列最后剩下的数字，是关于n和m的函数，记为f(n,m)。

(2) 第一次删除的节点为：(m-1)%n，这里记为k=(m-1)%n。

(3) 删除k之后，剩下的数字序列为k+1, k+2, …, n-1, 0, 1, …, k-1。该序列最后剩下的数字，是也是关于n-1和m的函数，只是规则不通过，记为f’(n-1, m)。

(4) (1)中最后剩下的数字和(3)中最后剩下的数字是相同的，所以f(n, m) = f’(n-1, m)。

(5) 对剩下的数字序列，做一个映射p(x) = (x-(k+1))%n，映射之前数字为x，映射之后为(x-(k+1))%n，如下所示：

k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1     ->    n-k-2
0        ->    n-k-1
…
k-1     ->    n-2

在这里，很容易知道p(x)函数的逆函数为：p-1(x) = (x+(k+1))%n

(5) 映射完之后的序列，也是从0开始的，所以可以继续使用f函数来标识，记为f(n-1, m)。

f(n-1, m) = p[f'(n-1, m)] 推出 f’(n-1, m) = p-1[f(n-1, m)] = (f(n-1, m) + (k+1))%n

将k=(m-1)%n代入得：f’(n-1, m) = (f(n-1, m) + m)%n

即f(n, m) = (f(n-1, m) + m)%n

ok, 得到递推公式：

f(n, m) = 0, if n==1

f(n, m) = (f(n-1, m) + m)%n if n> 1

使用上述递推公式，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。

实现代码如下所示：

// 18_2.cc
#include <iostream>
using namespace std;

int josephus(size_t n, size_t m) {
    if (n < 1 || m < 1)
        return -1;

    int res = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++) 
        res = (res + m) % i;

    return res;
}

int main() {
    size_t n = 10;
    size_t m = 2;
    cout << "The last one is: " << josephus(n, m) << endl;
    return 0;
}