多项式拟合
前言: 任何可微的函数都可以用一个N次多项式来估计, 而比N次幂更高阶的部分为无穷小量.
多项式拟合与线性拟合的区别就是:
线性拟合是使用向量空间中的直线去拟合离散的数据点
多项式拟合是使用连续的曲线去拟合离散的数据点
Key_Function:
np.polyfit函数: 输入x轴数组, 输入y轴数组, 用多项式拟合一系列数据点, 返回一个系数数组
np.polyval函数: 输入多项式系数数组,输入x, 返回一个与x对应的y值
np.roots函数: 输入多项式系数数组, 返回一个表示根的数组
np.poluder函数: 输入多项式系数数组, 返回一个求导后的多项式系数数组
Code:
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt bhp = np.loadtxt('BHP.csv', delimiter=',', usecols=(6,), unpack=True) vale = np.loadtxt('VALE.csv', delimiter=',', usecols=(6,), unpack=True) print(bhp) ''' [ 93.72 95.64 94.56 93.3 93.93 92.39 92.11 92.36 91.76 93.91 94.6 93.27 94.43 96.02 95.76 94.47 94.34 92.22 88.31 89.59 89.02 86.95 84.88 87.38 88.56 89.59 88.71 90.02 91.26 90.67] ''' print(vale) ''' [ 34.37 35.13 35.14 35.31 35.57 35.03 33.44 33.94 34.21 34.27 34.23 33.76 34.32 34.87 34.5 33.23 33.29 32.88 31.91 32.17 32.44 31.91 31.04 31.51 32.14 32.42 32.25 32.7 32.36 32.34] ''' t = np.arange(len(bhp)) print(t) ''' [ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29] ''' poly = np.polyfit(t, bhp - vale, 5) # 使用t作为x, bhp-vale作为y,拟合出曲线 print(poly) ''' [ -9.90778257e-06 1.01779570e-03 -3.46268017e-02 4.62600680e-01 -2.16153196e+00 6.09781428e+01] ''' poly = np.polyfit(t, bhp - vale, 3) # 改变多项式的阶数 print(poly) ''' [ 1.11655581e-03 -5.28581762e-02 5.80684638e-01 5.79791202e+01] ''' # 1.11655581e-03 表示 1.11655581 * 10 ^ -3 # 上述4个值分别表示3次方项系数, 二次方项系数, 一次方项系数, 零次方项系数 # 预测下一个值 print(np.polyval(poly, t[-1] + 1)) # 57.9743076081 # 找到多项式函数的根 print(np.roots(poly)) # [ 35.48624287+30.62717062j 35.48624287-30.62717062j -23.63210575 +0.j ] # 本例中有三个复根, 关于复根, 见下文详解 # 对多项式函数求导 der = np.polyder(poly) print(der) # [ 0.00334967 -0.10571635 0.58068464] # 这个数组表示倒数的系数, 分别为二次方项, 一次方项, 零次方项 # 求函数的极值点 print(np.roots(der)) # [ 24.47820054 7.08205278] # 求函数的最大值和最小值 vals = np.polyval(poly, t) print(np.argmax(vals)) # np.argmax求的是vals的最大值对应的索引, 即x的值 # 7 print(np.argmin(vals)) # np.argmin求的是vals的最小值对应的索引, 即x的值 # 24 plt.plot(t, bhp - vale) plt.plot(t, vals) plt.show()
* 使用简单移动平均线或者指数移动平均线, 可以在数据进行拟合前, 对数据进行平滑处理.
关于复数根的解析:
从下文可以看出, 复数是通过扩充定义域的维度, 来求解原本没有解的方程.
如上文得出的三次方多项式, 原本在一维的x下是没有根的, 但是通过给x加旋转, 扩充了x的自由度, 使其有根.
这个三次方多项式, 只表示一个从定义域到值域的映射关系, 至于定义域是什么, 函数并不关心.
什么是虚数
首先，假设有一根数轴，上面有两个反向的点：+1和-1。
这根数轴的正向部分，可以绕原点旋转。显然，逆时针旋转180度，+1就会变成-1。
这相当于两次逆时针旋转90度。
因此，我们可以得到下面的关系式：
(+1) * (逆时针旋转90度) * (逆时针旋转90度) = (-1)
如果把+1消去，这个式子就变为：
(逆时针旋转90度)^2 = (-1)
将"逆时针旋转90度"记为 i ：
i^2 = (-1)
这个式子很眼熟，它就是虚数的定义公式。
所以，我们可以知道，虚数 i 就是逆时针旋转90度，i 不是一个数，而是一个旋转量。
复数的定义
既然 i 表示旋转量，我们就可以用 i ，表示任何实数的旋转状态。
将实数轴看作横轴，虚数轴看作纵轴，就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数，必然唯一对应这个平面中的某个点。
只要确定横坐标和纵坐标，比如( 1 , i )，就可以确定某个实数的旋转量（45度）。
数学家用一种特殊的表示方法，表示这个二维坐标：用 + 号把横坐标和纵坐标连接起来。比如，把 ( 1 , i ) 表示成 1 + i 。这种表示方法就叫做复数（complex number），其中 1 称为实数部，i 称为虚数部。
为什么要把二维坐标表示成这样呢，下一节告诉你原因。
虚数的作用：加法
虚数的引入，大大方便了涉及到旋转的计算。
比如，物理学需要计算"力的合成"。假定一个力是 3 + i，另一个力是1 + 3i ，请问它们的合成力是多少？
根据"平行四边形法则"，你马上得到，合成力就是( 3 + i ) + ( 1 + 3i ) = ( 4 + 4i )。
这就是虚数加法的物理意义。
虚数的作用：乘法
如果涉及到旋转角度的改变，处理起来更方便。
比如，一条船的航向是3 + 4i 。
如果该船的航向，逆时针增加45度，请问新航向是多少？
45度的航向就是 1 + i 。计算新航向，只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以了（原因在下一节解释）：
( 3 + 4i ) * ( 1 + i ) = ( -1 + 7i )
所以，该船的新航向是-1 + 7i。
如果航向逆时针增加90度，就更简单了。因为90度的航向就是 i ，所以新航向等于：
( 3 + 4i ) * i = ( -4 + 3i )
这就是虚数乘法的物理意义：改变旋转角度。
虚数乘法的数学证明
为什么一个复数改变旋转角度，只要做乘法就可以了？
下面就是它的数学证明，实际上很简单。
任何复数 a + bi，都可以改写成旋转半径 r 与横轴夹角 θ 的形式。
假定现有两个复数 a + bi 和 c + di，可以将它们改写如下：
a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )
这两个复数相乘，( a + bi )( c + di ) 就相当于
r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )
展开后面的乘式，得到
cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )
根据三角函数公式，上面的式子就等于
cos(α+β) + isin(α+β)
所以，
( a + bi )( c + di ) ＝ r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )
这就证明了，两个复数相乘，就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。