LOJ 6485 LJJ学多项式

前言

蒟蒻代码惨遭卡常，根本跑不过

前置芝士——单位根反演

单位根有这样的性质：

[frac{1}{n}sum_{i=0}^{n-1}omega_{n}^{ki}=left[n|k ight] ]

所以可以得出单位根反演的式子

如果有(f(x)=sum_{i=0}a_ix^i)，就可以推出

[sum_{i=0}^na_ileft[d|i ight]=frac{1}{d}sum_{p=0}^{d-1}f(omega_d^p) ]

证明可以把上面的式子代入，然后交换和号

思路

这道题要求的东西是这样的

[sum_{i=0}^3a_isum_{j=0}^nleft(egin{matrix}n\jend{matrix} ight)s^jleft[j\%4=i ight] ]

写出(sum_{j=0}^nleft(egin{matrix}n\jend{matrix} ight)s^j)的生成函数，由二项式定理得到是((sx+1)^n)
不妨设i=0
则要求

[sum_{j=0}^nleft(egin{matrix}n\jend{matrix} ight)s^jleft[4|j ight] ]

直接套公式
原式等于

[frac{1}{4}sum_{p=0}^3f(omega_4^p) ]

对于i等于1，2，3，相当于原式向右边“移动”了1，2，3个位置
乘以自变量的对应倍即可

代码

蒟蒻的代码不知道为什么跑的辣么慢，只有60pts

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define int long long
using namespace std;
int T,a[4],s,n,MOD=998244353,W[5]={1,911660635,998244352,86583718},inv=748683265;
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%MOD;
        a=(a*a)%MOD;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main(){
    scanf("%lld",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld %lld %lld %lld %lld %lld",&n,&s,&a[0],&a[1],&a[2],&a[3]);
        int ans=0;
        for(int i=0;i<4;i++){
            int mid=0;
            for(int j=0;j<4;j++)
                mid=(mid+pow((s*W[j]%MOD+1%MOD)%MOD,n)*pow(W[i*j%4],MOD-2)%MOD)%MOD;
            ans=(ans+a[i]*mid%MOD*inv%MOD)%MOD;
        }
        printf("%lld
",ans); 
    }
    return 0;
}