BZOJ3925: [Zjoi2015]地震后的幻想乡【概率期望+状压DP】

Description

傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子，而且她非常非常地有爱心，很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。 这不，幻想乡突然发生了地震，所有的道路都崩塌了。现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。幻想乡一共有n个地方，那么最快的方法当然是修复n-1条道路将这n个地方都连接起来。 幻想乡这n个地方本来是连通的，一共有m条边。现在这m条边由于地震的关系，全部都毁坏掉了。每条边都有一个修复它需要花费的时间，第i条边所需要的时间为ei。地震发生以后，由于幽香是一位人生经验丰富，见得多了的长者，她根据以前的经验，知道每次地震以后，每个ei会是一个0到1之间均匀分布的随机实数。并且所有ei都是完全独立的。 现在幽香要出发去帮忙修复道路了，她可以使用一个神奇的大魔法，能够选择需要的那n-1条边，同时开始修复，那么修复完成的时间就是这n-1条边的ei的最大值。当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边ei的值，然后再选择完成时间最小的方案。 幽香在走之前，她想知道修复完成的时间的期望是多少呢？

Input

第一行两个数n,m，表示地方的数量和边的数量。其中点从1到n标号。

接下来m行，每行两个数a,b，表示点a和点b之间原来有一条边。

这个图不会有重边和自环。

Output

一行输出答案，四舍五入保留6位小数。

Sample Input

5 4
1 2
1 5
4 3
5 3

Sample Output

0.800000

HINT

提示：

（以下内容与题意无关，对于解题也不是必要的。）

对于n个[0,1]之间的随机变量x1,x2,...,xn，第k小的那个的期望值是k/(n+1)。

样例解释：

对于第一个样例，由于只有4条边，幽香显然只能选择这4条，那么答案就是4条边的ei中最大的数的期望，由提示中的内容，可知答案为0.8。

数据范围：

对于所有数据：n<=10, m<=n(n-1)/2, n,m>=1。

对于15%的数据：n<=3。

另有15%的数据：n<=10, m=n。

另有10%的数据：n<=10, m=n(n-1)/2。

另有20%的数据：n<=5。

另有20%的数据：n<=8。

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思路

首先考虑怎么统计答案

因为显然不可以直接枚举边来统计贡献

所以可以考虑算出从小到大加入j条边的时候恰好联通的方案数(因为方案数/组合数=概率)

设(f_{i,j})表示点集是i连了j条边不连通的方案数

(g_{i,j})表示点集是i连了j条边联通的方案数

很显然(f_{i,j}+g_{i,j}=C_{w}^j)

这个时候w是点集i内部的所有边的个数

然后我们为了不重复计算可以枚举包含一个点的部分进行dp，比如为了方便取lowbit

然后设当前全集是s，枚举的子集是sub(包含lowbit)

那么有转移(f_{s,i+j}=sum_{subin s}g_{sub,i}*C_{w_{soplus sub}}^{j})

---

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long double ld;

const int N = (1 << 10) + 10;
const int M = 110;

int n, m, cnt[N], siz[N];
ld c[M][M], f[N][M], g[N][M];

int main() {
  scanf("%d %d", &n, &m);
  int up = 1 << n;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int u, v; scanf("%d %d", &u, &v); 
    for (int s = 0; s < up; s++) {
      if (!((s >> (u - 1)) & 1)) continue;
      if (!((s >> (v - 1)) & 1)) continue;
      ++cnt[s];
    }
  }
  for (int i = 1; i <= up; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
      if ((i >> (j - 1)) & 1) ++siz[i];    
    }
  }
  for (int i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 1;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
      c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1];
    }
  }
  for (int s = 1; s < up; s++) {
    if (siz[s] == 1) {
      g[s][0] = 1;
      continue;
    }
    int cur = s & (-s);
    for (int sub = (s - 1) & s; sub; sub = (sub - 1) & s) if (sub & cur) {
      for (int i = 0; i <= cnt[sub]; i++) {
        for (int j = 0; j <= cnt[s ^ sub]; j++) {
          f[s][i + j] += g[sub][i] * c[cnt[s ^ sub]][j]; 
        }
      }
    }
    for (int i = 0; i <= m; i++) {
      g[s][i] = c[cnt[s]][i] - f[s][i];
    }
  }
  ld ans = 0.0;
  for (int i = 0; i <= m; i++) {
    ans += f[up - 1][i] / c[cnt[up - 1]][i];
  }
  ans /= m + 1;
  printf("%.6Lf", ans);
  return 0;
}