与或 【线段树】 *

与或

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样例：

Input：
5 8
1 3 2 5 4
3 1 3
2 1 1 5
3 1 3
1 1 4 6
2 3 4 1
3 2 3
2 2 3 4
3 1 5
Output：
3
5
3
7

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看到题目的时候相当僵硬，然后YY了一个算法然后僵硬了几个小时最后GG，我自己的错误算法还是不在这里说了。。说多了都是泪
重大更新，我的代码终于调出来了，比正解更好理解！！！在正解后给予解释！！！！

正解如下：
首先我们可以发现，与和或的操作一个是有0变成0，一个是有1变成1
那么如果一个数与、或上另一个数vl，只跟另一个数的二进制位上为0、1的位有关

我们考虑在什么情境之下我们可以通过更新的vl值获得我们需要的最大值maxn，既然是区间操作，我们不难想到用线段树进行求解，但是单单是vl，我们并不能得到想要的maxn，所以我们需要维护其他的辅助变量

我们发现&和|操作所关联的二进制位只有vl上的0或者1，所以我们可以考虑定义线段树上区间的sam，如果一个区间的所有数在第i个二进制位上的数码相等，sam的这个二进制位上的数为1，否则为0

通过更新sam，我们是可以很方便的计算和更新maxn的

但是当一个区间存在多个不同的sam怎么办？我们用vl值进行更新的时候依然不能很方便的进行计算，所以我们定义check函数来限制线段树修改的边界问题，显然，当满足所有（&vl且vl上为0的位sam上为1）或者（|vl且vl上为1的位sam上为1）我们只需要用vl&、|上当前区间最大值就好，不满足就向下递归问题

现在我们考虑向上维护sam值，显然，对于一个二进制位，只有当左右两区间的sam在这个二进制上的值都为1且左右两区间的数在这两个二进制位上相等才行，可以表示成sam[t]=(sam[LD] & sam[RD]) & (INF ^ maxn[LD] ^ maxn[RD])，这里INF定义为二进制上的极大值((1<<20)-1)，然后maxn直接左右区间选择max就好了

那么如何向下更新呢？正解的思路真的比较神奇
我们把|操作强行通过某种等价的方式转化成&操作，然后只用一个修改函数进行修改，这个有兴趣的照着代码枚举二进制情境验证一下吧。
其次，还有一个比较玄学的是正解没有加lazy标记，直接用父亲节点t的maxn和sam值对儿子节点s的maxn和sam值进行更新，这个稍微讲一下，因为所有在sam[t]上出现的1一定会在sam[s]上出现，所以sam[s]|=sam[t]就可以维护，然后对于maxn，我们先把maxn[s]上左右和sam[t]有关的二进制位全部变成零，然后再或上sam[t]和maxn[t]均为1的二进制就好了

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200010
#define INF ((1<<20)-1)
#define LD (t<<1)
#define RD ((t<<1)|1)
struct Segment_Tree{
    //1->& 2->|
    int num[N],l[N<<2],r[N<<2];
    int maxn[N<<2],sam[N<<2];
    void pushup(int t){
        sam[t]=(sam[LD]&sam[RD])&(INF^(maxn[LD]^maxn[RD])); 
        maxn[t]=max(maxn[LD],maxn[RD]);
    }
    void pushnow(int t,int v1,int v2){
        sam[t]|=v1;
        maxn[t]=(maxn[t]&(INF^v1))|(v1&v2);
    }
    void pushdown(int t){
        pushnow(LD,sam[t],maxn[t]);
        pushnow(RD,sam[t],maxn[t]);
    }
    void build(int t,int ll,int rr){
        if(ll>rr)return;
        l[t]=ll;r[t]=rr;
        if(ll==rr){
            maxn[t]=num[ll];
            sam[t]=INF;
            return;
        }
        int mid=(ll+rr)>>1;
        build(LD,ll,mid);
        build(RD,mid+1,rr);
        pushup(t);
    }
    void modify(int t,int ll,int rr,int v1,int v2){
        if(l[t]>rr||r[t]<ll)return;
        if(ll<=l[t]&&r[t]<=rr){
            if(l[t]==r[t]||((v1&sam[t])==v1)){
                maxn[t]=(maxn[t]&(INF^v1))|(v1&v2);
                return;
            }
        }
        pushdown(t);
        modify(LD,ll,rr,v1,v2);
        modify(RD,ll,rr,v1,v2);
        pushup(t);
    }
    int query(int t,int ll,int rr){
        if(l[t]>rr||r[t]<ll)return 0;
        if(ll<=l[t]&&r[t]<=rr)return maxn[t];
        pushdown(t);
        return max(query(LD,ll,rr),query(RD,ll,rr));        
    }
}tree;
int main(){
    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&tree.num[i]);
    tree.build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int op,l,r,vl;
        scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
        if(op==1){
            scanf("%d",&vl);
            tree.modify(1,l,r,vl^INF,0);
        }else if(op==2){
            scanf("%d",&vl);
            tree.modify(1,l,r,vl,vl);
        }else printf("%d
",tree.query(1,l,r));
    }
    return 0;
} 

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更新：
身为一个不顾一切强行刚的OIER，我肯定是会刚题刚到凌晨的，然后我就把它刚出来了，我的做法将&和|的操作分别进行，在modify过程中肯定是很好理解的，现在解释一下对&和|的边界设定：
定义check1检查对&的modify：{
我们发现当vl涉及的数码为0的所有二进制位在取件sam中都为1的时候，那么vl对于区间中的所有二进制的这几位的影响相同，不会改变大小顺序，所以可以直接进行maxn的更新，条件：((INF^vl)&sam[t])==(INF^vl)
}
定义check2检查对|的modify：{
我们发现当vl涉及的数码为1的所有二进制位在取件sam中都为1的时候，那么vl对于区间中的所有二进制的这几位的影响相同，不会改变大小顺序，所以可以直接进行maxn的更新，条件：(vl&sam[t])==vl
}
然后注意这个时候需要在pushdown的时候进行边界条件判定，不然会出现奇奇怪怪的错误

附上代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF ((1<<20)-1)
#define N 200010
#define LD (t<<1)
#define RD ((t<<1)|1)
struct Segment_Tree{
    //1->& 2->|
    int num[N],sam[N<<2],maxn[N<<2],l[N<<2],r[N<<2];
    void pushup(int t){
        sam[t]=(sam[LD]&sam[RD])&(INF^(maxn[LD]^maxn[RD]));
        maxn[t]=max(maxn[LD],maxn[RD]);
    }
    void pushnow(int t,int v1,int v2){
        sam[t]|=v1; 
        maxn[t]=(maxn[t]&(INF^v1))|(v1&v2);
    }
    void pushdown(int t){
        if(l[t]==r[t])return;
        pushnow(LD,sam[t],maxn[t]);
        pushnow(RD,sam[t],maxn[t]);
    }
    void build(int t,int ll,int rr){
        if(ll>rr)return;
        l[t]=ll;r[t]=rr;
        if(ll==rr){sam[t]=INF;maxn[t]=num[ll];return;}
        int mid=(ll+rr)>>1;
        build(LD,ll,mid);
        build(RD,mid+1,rr);
        pushup(t);
    }
    bool check1(int t,int vl){return ((INF^vl)&sam[t])==(INF^vl);}
    bool check2(int t,int vl){return (vl&sam[t])==vl;}
    void modify1(int t,int ql,int qr,int vl){
        if(r[t]<ql||qr<l[t])return;
        pushdown(t);
        if(ql<=l[t]&&r[t]<=qr)
            if(l[t]==r[t]||check1(t,vl)){maxn[t]&=vl;return;}
        modify1(LD,ql,qr,vl);
        modify1(RD,ql,qr,vl);
        pushup(t);
    }
    void modify2(int t,int ql,int qr,int vl){
        if(r[t]<ql||qr<l[t])return;
        pushdown(t);
        if(ql<=l[t]&&r[t]<=qr)
            if(l[t]==r[t]||check2(t,vl)){maxn[t]|=vl;return;}
        modify2(LD,ql,qr,vl);
        modify2(RD,ql,qr,vl);
        pushup(t);
    }
    int query(int t,int ql,int qr){
        if(r[t]<ql||qr<l[t])return 0;
        if(ql<=l[t]&&r[t]<=qr)return maxn[t];
        pushdown(t);
        return max(query(LD,ql,qr),query(RD,ql,qr));
    }
}tree;
int main(){
    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&tree.num[i]);
    tree.build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int op,l,r,vl;
        scanf("%d%d%d",&op,&l,&r);
        if(op==1){
            scanf("%d",&vl);
            tree.modify1(1,l,r,vl);
        }else if(op==2){
            scanf("%d",&vl);
            tree.modify2(1,l,r,vl);
        }else printf("%d
",tree.query(1,l,r));
    }
    return 0;
}