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  • BZOJ3270: 博物馆【概率DP】【高斯消元】

    Description

    有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行,他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间,并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。

    两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动,去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事:他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点,他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方(他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的)

    不过,尽管他们到处乱跑,但他们还没有看完足够的艺术品,因此他们每个人采取如下的行动方法:每一分钟做决定往哪里走,有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方(即呆在房间不动),有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事,因此每条走廊会连接两个不同的房间,并且任意两个房间至多被一条走廊连接。

    两个男孩同时行动。由于走廊很暗,两人不可能在走廊碰面,不过他们可以从走廊的两个方向通行。(此外,两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇)两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说,当两个人在某个时刻选择前往同一间房间,那么他们就会在那个房间相遇。

    两个男孩现在分别处在a,b两个房间,求两人在每间房间相遇的概率。

    Input

    第一行包含四个整数,n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。

    之后m行每行包含两个整数,表示走廊所连接的两个房间。

    之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。

    题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

    Output

    输出一行包含n个由空格分隔的数字,注意最后一个数字后也有空格,第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率(输出保留6位小数)

    注意最后一个数字后面也有一个空格

    Sample Input

    2 1 1 2
    1 2
    0.5
    0.5

    Sample Output

    0.500000 0.500000

    HINT

    对于100%的数据有 n <= 20,n-1 <= m <= n(n-1)/2


    思路

    因为n很小考虑状态(t_{i,j})表示出现第一个人在i,第二个人在j的期望次数

    因为边可以双向转移,所以转移是存在环的

    考虑怎么表示一个dp转移

    (t_{id_{x, y},id_{x, y}} += (p_x * p_y)[x ot= y])

    (t_{id_{x, y},id_{u, y}} += (1-p_u)/d_u * p_y[u ot=y])

    (t_{id_{x, y},id_{x, v}} += p_x * (1-p_v)/d_v[x ot=v])

    (t_{id_{x, y},id_{u, v}} += (1-p_u)/d_u * (1-p_v)/d_v[u ot=v])

    转移有环可以直接用高斯消元解决掉

    注意一下:

    • 因为在每个点停止的状态只可能出现一次,所以出现的期望次数就是出现概率

    • 在写转移方程的时候默认左边有(t_{id_{x, y},id_{x, y}}),所以高消的时候需要把这个东西系数减一

    • 因为一开始有初始位置a和b,所以初值(t[id_{a,b}][n*n+1]=-1)

    //Author: dream_maker
    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    //----------------------------------------------
    //typename
    typedef long long ll;
    //convenient for
    #define fu(a, b, c) for (int a = b; a <= c; ++a)
    #define fd(a, b, c) for (int a = b; a >= c; --a)
    #define fv(a, b) for (int a = 0; a < (signed)b.size(); ++a)
    //inf of different typename
    const int INF_of_int = 1e9;
    const ll INF_of_ll = 1e18;
    //fast read and write
    template <typename T>
    void Read(T &x) {
      bool w = 1;x = 0;
      char c = getchar();
      while (!isdigit(c) && c != '-') c = getchar();
      if (c == '-') w = 0, c = getchar();
      while (isdigit(c)) {
        x = (x<<1) + (x<<3) + c -'0';
        c = getchar();
      }
      if (!w) x = -x;
    }
    template <typename T>
    void Write(T x) {
      if (x < 0) {
        putchar('-');
        x = -x; 
      }
      if (x > 9) Write(x / 10);
      putchar(x % 10 + '0');
    }
    //----------------------------------------------
    const int N = 410;
    #define id(x,y) (n * (x - 1) + y)
    int n, m, a, b, d[N];
    vector<int> g[N];
    double p[N], t[N][N];
    void guass(int n) {
      fu(i, 1, n) {
        int j = 0;
        fu(k, i, n) if (fabs(t[k][i]) > fabs(t[j][i])) j = k;
        fu(k, 1, n + 1) swap(t[j][k], t[i][k]);
        double w = t[i][i];
        fu(k, 1, n + 1) t[i][k] /= w;
        fu(k, 1, n) {
          if (k == i) continue;
          w = t[k][i];
          fu(p, 1, n + 1) t[k][p] -= w * t[i][p];
        }
      }
    }
    int main() {
      Read(n), Read(m); Read(a); Read(b);
      fu(i, 1, m) {
        int u, v; Read(u), Read(v);
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
        ++d[u], ++d[v];
      }
      fu(i, 1, n) scanf("%lf", &p[i]);
      fu(i, 1, n * n)
        fu(j, 1, n * n) t[i][j] = 0;
      fu(x, 1, n) {
        fu(y, 1, n) {
          if (x != y) {
            t[id(x, y)][id(x, y)] = p[x] * p[y] - 1.0;
          } else {
            t[id(x, y)][id(x, y)] = -1;
          }
          fv(u, g[x]) if (g[x][u] != y) t[id(x, y)][id(g[x][u], y)] = (1.0 - p[g[x][u]]) / (double) d[g[x][u]] * p[y];
          fv(v, g[y]) if (x != g[y][v]) t[id(x, y)][id(x, g[y][v])] = p[x] * (1.0 - p[g[y][v]]) / (double) d[g[y][v]];
          fv(u, g[x]) 
            fv(v, g[y]) if(g[x][u] != g[y][v]) t[id(x, y)][id(g[x][u], g[y][v])] = (1.0 - p[g[x][u]]) / (double) d[g[x][u]] * (1.0 - p[g[y][v]]) / (double) d[g[y][v]];
        }
      }
      t[id(a, b)][n * n + 1] = -1;
      guass(n * n);
      fu(i, 1, n) printf("%.6lf ", t[id(i, i)][n * n + 1]);
      return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/dream-maker-yk/p/9847063.html
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