SSLOJ 1461.异或

目录

• 题目
• 分析
• 代码

题目

题目描述
SarvaTathagata是个神仙，一天他在研究数论时，书上有这么一个问题：求不超过n两两的数的gcd。
SarvaTathagata这么神仙的人当然觉得这个是sb题啦。学习之余，他还发现gcd的某一个特别好的性质：如果有两个数i,j满足gcd(i,j)=i ^ j(这里的^为c++中的异或)的话，那么这两个数组成的数对(i,j)就是一个nb的数对(这里认为(i,j)和(j,i)为相同的，并不需要计算2次)。
当然，SarvaTathagata并不会只满足于判断一个数对是否nb，他还想知道满足两个数都是不超过n并且nb的数对有多少个。
由于SarvaTathagata实在是太神仙了，他认为这种题实在是太简单了。于是他找到了你，看看你是否能解决这个问题。

输入 共一行一个整数n，含义如题所述。 输出 一行一个整数，表示nb的数对的个数。 输入样例

样例输入1:
12
样例输入2:
123456

样例输出1:
8
样例输出2:
214394

说明 提示
样例1中共有八对，分别是：
{2,3},{4,5},{4,6},{6,7},{8,9},{8,10},{8,12},{10,11}

分析

注意，在这里a>b， “ ^ ”表示异或(xor)

容易证明： 当gcd(a,b) = a ^ b时,gcd(a,b) = a-b = a ^ b:
1.gcd(a,b) <= a - b(应该很容易理解):
设gcd(a,b) = k , a' = a / k , b' = b / k
a - b = a' k + b' k = k(a' - b')
又∵ a > b
∴ a' > b'
又∵ a , b ∈ Z
∴a' - b' >= 1
∴k <= a-b
即gcd(a,b) <= a-b
2.a ^ b >= a - b
首先，异或是按位的，没有进退位
对比一下：

0 xor 1 = 1	0 - 1 = 1 （需要从前面借1 ， 小于异或）
1 xor 0 = 1	1 - 0 = 0（相等于异或）
1 xor 1 = 0	1-1 = 0（相等于异或）
0 xor 0 = 0	0 - 0 = 0（相等于异或）
所以，a ^ b >= a - b
综上，gcd(a,b) <= a - b <= a ^ b
又∵gcd(a,b) = a ^ b
∴gcd(a,b) = a-b = a ^ b

=============== 分割线 ==========================
设c = a-b 则b = a-c
gcd(a,b) = gcd(a,a-b) = gcd(a,c)（详见更相减损术）

重点来了：
当a-c = a^c时
b = a^c
b ^ b = a ^ b ^ c
0 = a ^ b ^ c
即a ^ b = c
又∵c = a - b = gcd(a,b)
∴gcd(a,b) = a - b = a ^ b

因此，只要满足a-c = a ^ c，就有gcd(a,b) = a ^ b，我们枚举a,c即可
又∵gcd(a,b) = gcd(a,c) = a - b = c
∴a是c的整数倍

代码

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int n , ans = 0;
	cin >> n;
	for(int c = 1 ; c <= n ; c++)//枚举c
		for(int a = (c << 1) ; a <=n ; a += c)//枚举c的倍数，即a
			if(a - c == (a ^ c)){
				ans += 1;
			}
	cout << ans;
	return 0;
}