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P3951 小凯的疑惑 / [蓝桥杯2013省]买不到的数目
题意
给两个互质的整数a,b求一个数ans，使得
[∀i > ans , i = x cdot a + y cdot b (a,bin Z)
]
思路
别人的思路：不太清楚别人是怎么搞的，其实就一条式子：ans = (a-1)*b-a;
我的思路（比较复杂）：
首先，强行令a<b
以7,3为例，下面能直接用3表示的画〇，用7，3组合或直接用7表示的画√
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 〇 | 〇 | 〇 | √ | 〇 | √ | 〇 | √ | √ | 〇 |
以3*floor(7/3)=6为一个单位，拆开得：
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 〇 | 〇 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|
| 〇 | √ | 〇 | √ |
| 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 |
|---|---|---|---|---|---|
| 〇 | √ | √ | 〇 | √ | √ |
可以发现，表中是有规律变化的，每一次变化表中都多一个√，我们把上面无限延伸的表抽象成长度为a的表，每一个√的位置就是上一个√位置+b%a(溢出则对a取模)，那么最后一个被填的位置减去a就是答案
还是以7，3为例
| x*a | x*a+1 | x*a+2 |
|---|---|---|
| 〇 |
一次变化(x+=floor(b/a))：
| x*a | x*a+1 | x*a+2 |
|---|---|---|
| 〇 | √ | (ans) |
二次变化(x+=floor(b/a))：
| x*a | x*a+1 | x*a+2 |
|---|---|---|
| 〇 | √ | √ |
显然，再下一次变化后〇和√就重合了(若a,b不互质，则在重合的时候没有完全覆盖，因此永远没有答案)
因此，原问题转化为找
[xcdot a=bcdot y + b \% a(x,yin )……①
]
并使得方程两边的值最小，答案就是
[ax-a-b\%a
]
又因为
[b=acdot floor(b/a)+b\%a
]
①式化为
[xcdot a=ycdot acdot floor(b/a)+(y+1)(b\%a)
]
即使得方程右边是a的倍数，显然,加号左边是a的倍数，那么，就是要让加号右边也是a的倍数，又因为要满足最小，我们对a和b%a分解质因数，如果是a有而b%a无的质因子，我们就用(y+1)补上，使得(y+1)(b%a)是a得倍数
这样y就出来了，答案也自然出来了
代码（根号下min(a,b)复杂度，可通过）
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
ll a , b;
int gcd(int a , int b){
return b == 0 ? a : gcd(b , a % b);
}
int main(){
cin >> a >> b;
if(a > b){ll tmp = a ; a = b ; b = tmp;}
if(a == 1){
cout << 0;
return 0;
}
ll c = b % a;
ll d = b / a;
ll tmpa = a , tmpc = c;
ll y = 1;
for(ll i = 2 ; i * i <= tmpa ; i++){
while(tmpa % i == 0){
if(tmpc % i != 0)
y *= i;
else
tmpc /= i;
tmpa /= i;
}
}
if(tmpc % tmpa != 0)
y *= tmpa;
y--;
ll ax = c + c * y + y * a * d;
cout << ax - a - c;
return 0;
}
P3952 时间复杂度
题意
给一段“A++”代码，算时间复杂度
思路
这种题往往看着简单，实际暗含无数细节
仔细看题，循环范围一共有一下情况：
| x | y | 对时间复杂度的影响 |
|---|---|---|
| 常数 | 常数 | 1.x<=y：常数复杂度 2.x > y：被嵌套的代码不运行 |
| 常数 | n | n |
| n | n | 常数 |
| n | 常数 | 被嵌套的代码不运行 |
ERR的情况：
- F，E不匹配：类似于括号匹配问题,定义变量check=0，遇到F加一，遇到E减一，中途不能小于0，结束时一定为0
- 变量名不重复：用栈存储即可
几个细节：
- 递归到什么时候结束：记录总行数，若当前行>m，立刻在输入前退出递归，防止输入错位
- 循环体的从属问题：将递归函数定义为bool类型，返回true则表示遇到E，当前循环结束
代码
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
using namespace std;
int maxn;
int m;
int stoint(string s){
int x = 0;
for(int i = 0 ; i < s.size() ; i++)
x = (x << 1) + (x << 3) + s[i] - '0';
return x;
}
int times;
bool err;
string stac[110];
int top;
int check;
bool dfs(int cnt){
times++;
if(times > m){
err = true;
return true;
}
if(cnt > maxn)
maxn = cnt;
string x , y , tmp;
cin >> tmp;
if(tmp == "E"){
check--;
if(check < 0)err = true;
return true;
}
else{
check++;
cin >> tmp;
// if(tmp == "m")
// cout << cnt << "!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
";
for(int i = 1 ; i <= top ; i++)
if(tmp == stac[i])
err = true;
top++;
stac[top] = tmp;
cin >> x >> y;
// cout << x << endl << y << endl;
if(x[0] == 'n'){
if(y[0] == 'n')
while(!dfs(cnt));
else
while(!dfs(-(1 << 29)));
}
else{
if(y[0] == 'n')
while(!dfs(cnt + 1));
else{
if(stoint(x) > stoint(y))
while(!dfs(-(1 << 29)));
else
while(!dfs(cnt));
}
}
top--;
}
return false;
}
int main() {
int T;
cin >> T;
while(T--){
times = 0;
maxn = 0;
err = false;
top = 0;
check = 0;
string s;
cin >> m;
cin >> s;
s = s.substr(2 , s.size() - 2 - 1);
// cout << s << endl;
int dl = 0;
if(s[0] != 'n')dl = 0;
else{
s = s.substr(2);
for(int i = 0 ; i < s.size() ; i++)
dl = dl * 10 + s[i] - '0';
}
while(times < m)dfs(0);
if(check != 0)err = true;
if(err) printf("ERR
");
else {
if(maxn == dl)printf("Yes
");
else printf("No
");
}
// cout << maxn << endl;
// system("pause");
}
return 0;
}
P3953 逛公园
题意
求从1到n的路径数量，满足长度在[dis(1,n) , dis(1,n)+k]范围内(dist(1,n)表示1到n的最短路径长度)
思路
记忆化搜索
看到k才去到50，那么我们就直接在合法范围内枚举路径的长度
输出-1的情况
就是某条路径中包含一个权值为0的环的情况(因为一直绕着环走，路径长度不变，但每次都是不一样的)
1版（3TLE）
定义dfs(x,dist),返回以x为终点，1为起点，长度为dist的路径数量
用map容器记录dfs(x,dist)的值
加点小剪枝：dist<（1到x的最短路径）时，没有方案(return 0)
2版（AC）
参考了这个大佬的博客
dfs(x,dist)表示以x为终点,还差dist长度到达目标路径长度
记忆化直接用数组rec[n] [55]实现即可
转移：
[dfs(x,dist)=Sigma dfs(s,dist - ed2[i].len + (dis[x] - dis[ed2[i].u]))
]
说明：s表示与x相连的点（边从s指向x，这就是开两个链式前向星的原因），ed2[i].u表示上述边的长度，dis[ ]为1到所有点的最短路长度
疑惑
按n=100000,m=200000开数组不够用，会越界，甚至两倍都不行（这就是苦苦调试了很久，改了很多不必改的东西的原因），最后开了10倍才AC
代码
1版
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
#define ll long long
#define nn 1000010
using namespace std;
int read(){
int re = 0 , sig = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9'){
if(c == '-')sig = -1;
c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9'){
re = (re << 1) + (re << 3) + c - '0';
c = getchar();
}
return re * sig;
}
struct ednode{
int u , nxt , len;
}ed[nn * 2] , ed2[nn * 2];
int head[nn] , head2[nn];
inline void addedge(int u , int v , int len){
static int top = 1;
if(u == v && u == -1){top = 1; return;}
ed[top].u = v , ed[top].len = len , ed[top].nxt = head[u] , head[u] = top;
top++;
}
inline void addedge2(int u , int v , int len){
static int top = 1;
if(u == v && u == -1){top = 1; return;}
ed2[top].u = v , ed2[top].len = len , ed2[top].nxt = head2[u] , head2[u] = top;
top++;
}
int n , m , k ;
ll p;
int dis[nn] ;
ll cnt[nn];
bool vis[nn];
void spfa(){
memset(dis , 0x3f , sizeof(dis));
memset(vis , 0 , sizeof(vis));
memset(cnt , 0 , sizeof(cnt));
queue <int> q;
dis[1] = 0;
vis[1] = true;
cnt[1] = 1;
q.push(1);
while(!q.empty()){
int k = q.front();
q.pop();
vis[k] = false;
for(int i = head[k] ; i ; i = ed[i].nxt){
if(dis[ed[i].u] > dis[k] + ed[i].len){
dis[ed[i].u] = dis[k] + ed[i].len;
cnt[ed[i].u] = 0;
if(!vis[ed[i].u]){
q.push(ed[i].u);
vis[ed[i].u] = true;
}
}
}
}
}
ll sum;
int goa[nn];
bool break_;
map<pair<int , int> , int> rec;
ll dfs(int x , int dist) {
if(dist < 0)return 0;
if(goa[x] == dist)
break_ = true;
if(break_)return 0;
if(dist < dis[x])return 0;
if(x == 1 && dist == 0)
return 1;
if(rec.find(make_pair(x , dist)) != rec.end())
return rec[make_pair(x , dist)];
ll re = 0;
int temp = goa[x];
goa[x] = dist;
for(int i = head2[x] ; i ; i = ed2[i].nxt){
re += dfs(ed2[i].u , dist - ed2[i].len);
re %= p;
}
goa[x] = temp;
if(!break_)
rec[make_pair(x , dist)] = re;
return re;
}
int main(){
// freopen("P3953_7.in" , "r" , stdin);
int T = read();
while(T--){
addedge(-1 , -1 , 0);
addedge(-1 , -1 , 0);
memset(head , 0 , sizeof(head));
memset(head2 , 0 , sizeof(head2));
rec.clear();
n = read(); m = read(); k = read(); p = read();
for(int i = 1 ; i <= m ; i++){
int u , v , len;
u = read() , v = read() , len = read();
addedge(u , v , len);
addedge2(v , u , len);
}
spfa();
if(dis[n] == 0){
printf("-1
");
continue;
}
sum = 0;
break_ = false;
for(int i = 0 ; i <= k && !break_; i++){
memset(goa , -1 , sizeof(goa));
sum = (sum + dfs(n , dis[n] + i)) % p;
}
sum = (sum + cnt[n]) % p;
if(break_)sum = -1;
printf("%d
" , (int)sum);
}
return 0;
}
2版
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <vector>
#define ll long long
#define nn 1000010
using namespace std;
int read(){
int re = 0 , sig = 1;
char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9'){
if(c == '-')sig = -1;
c = getchar();
}
while(c >= '0' && c <= '9'){
re = (re << 1) + (re << 3) + c - '0';
c = getchar();
}
return re * sig;
}
struct ednode{
int u , nxt , len;
}ed[nn * 2] , ed2[nn * 2];
int head[nn] , head2[nn];
inline void addedge(int u , int v , int len){
static int top = 1;
if(u == v && u == -1){top = 1; return;}
ed[top].u = v , ed[top].len = len , ed[top].nxt = head[u] , head[u] = top;
top++;
}
inline void addedge2(int u , int v , int len){
static int top = 1;
if(u == v && u == -1){top = 1; return;}
ed2[top].u = v , ed2[top].len = len , ed2[top].nxt = head2[u] , head2[u] = top;
top++;
}
int n , m , k ;
ll p;
int dis[nn] ;
ll cnt[nn];
bool vis[nn];
vector <int> from[nn];
void spfa(){
memset(dis , 0x3f , sizeof(dis));
memset(vis , 0 , sizeof(vis));
queue <int> q;
dis[1] = 0;
vis[1] = true;
q.push(1);
while(!q.empty()){
int k = q.front();
q.pop();
vis[k] = false;
for(int i = head[k] ; i ; i = ed[i].nxt){
if(dis[ed[i].u] > dis[k] + ed[i].len){
dis[ed[i].u] = dis[k] + ed[i].len;
from[ed[i].u].clear();
if(!vis[ed[i].u]){
q.push(ed[i].u);
vis[ed[i].u] = true;
}
}
if(dis[ed[i].u] == dis[k] + ed[i].len)
from[ed[i].u].push_back(k);
}
}
}
ll sum;
int goa[nn];
int rec[nn][55];
bool break_;
ll dfs(int x , int dist) {
if(dist == 0)return cnt[x];
if(dist < 0)return 0;
if(goa[x] == dist)
break_ = true;
if(break_)return 0;
if(rec[x][dist] != -1)
return rec[x][dist];
rec[x][dist] = 0;
int tmp = goa[x];
goa[x] = dist;
for(int i = head2[x] ; i ; i = ed2[i].nxt){
rec[x][dist] += dfs(ed2[i].u , dist - ed2[i].len + (dis[x] - dis[ed2[i].u]));
rec[x][dist] %= p;
}
goa[x] = tmp;
return rec[x][dist];
}
void GetCnt(int x){
if(cnt[x] != -1)return;
cnt[x] = 0;
for(int i = 0 ; i < from[x].size() ; i++){
GetCnt(from[x][i]);
cnt[x] += cnt[from[x][i]];
}
}
int main(){
// freopen("P3953_7.in" , "r" , stdin);
int T = read();
while(T--){
addedge(-1 , -1 , 0);
addedge(-1 , -1 , 0);
memset(head , 0 , sizeof(head));
memset(head2 , 0 , sizeof(head2));
memset(rec , -1 , sizeof(rec));
memset(cnt , -1 , sizeof(cnt));
n = read(); m = read(); k = read(); p = read();
for(int i = 1 ; i <= m ; i++){
int u , v , len;
u = read() , v = read() , len = read();
addedge(u , v , len);
addedge2(v , u , len);
}
spfa();
cnt[1] = 1;
for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
GetCnt(i);
if(dis[n] == 0){
printf("-1
");
continue;
}
sum = 0;
break_ = false;
for(int i = 0 ; i <= k && !break_; i++){
memset(goa , 0 , sizeof(goa));
sum = (sum + dfs(n , i)) % p;
}
if(break_)sum = -1;
printf("%d
" , (int)sum);
}
return 0;
}